Номер 1.27, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.27, страница 14.

Условие.

Сократите дробь (1.27–1.30).

1.27 a) $ \frac{y^3}{y^3 + y^2} $;

B) $ \frac{x^5 + x^3}{x^2 + 1} $;

Д) $ \frac{m^4 - m^3}{m^2 + m^3} $;

б) $ \frac{5a^2}{a^4 + a^2} $;

Г) $ \frac{b^5 - b^4}{b^5} $;

е) $ \frac{n^2 - n - 1}{n^4 - n^3 - n^2} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{y^3}{y^3 + y^2}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе.

1. Разложим знаменатель на множители. Общим множителем для слагаемых $y^3$ и $y^2$ является $y^2$. Вынесем его за скобки: $y^3 + y^2 = y^2(y + 1)$.

2. Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь: $\frac{y^3}{y^2(y + 1)}$.

3. Сократим дробь на общий множитель $y^2$. При этом $y^3$ в числителе делится на $y^2$ и остается $y$, а $y^2$ в знаменателе полностью сокращается. Это возможно при условии, что $y \neq 0$.

$\frac{y^3}{y^2(y + 1)} = \frac{y}{y + 1}$

Ответ: $\frac{y}{y + 1}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{5a^2}{a^4 + a^2}$, найдем общие множители.

1. Разложим знаменатель на множители. Общим множителем для слагаемых $a^4$ и $a^2$ является $a^2$. Вынесем его за скобки: $a^4 + a^2 = a^2(a^2 + 1)$.

2. Подставим разложенный знаменатель в дробь: $\frac{5a^2}{a^2(a^2 + 1)}$.

3. Сократим дробь на общий множитель $a^2$ (при $a \neq 0$).

$\frac{5a^2}{a^2(a^2 + 1)} = \frac{5}{a^2 + 1}$

Ответ: $\frac{5}{a^2 + 1}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{x^5 + x^3}{x^2 + 1}$, найдем общие множители.

1. Разложим числитель на множители. Общим множителем для $x^5$ и $x^3$ является $x^3$. Вынесем его за скобки: $x^5 + x^3 = x^3(x^2 + 1)$.

2. Подставим разложенный числитель в дробь: $\frac{x^3(x^2 + 1)}{x^2 + 1}$.

3. Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + 1)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, выражение $x^2 + 1$ всегда больше нуля, поэтому на него можно сокращать без ограничений.

$\frac{x^3(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = x^3$

Ответ: $x^3$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{b^5 - b^4}{b^5}$, найдем общие множители.

1. Разложим числитель на множители. Общим множителем для $b^5$ и $b^4$ является $b^4$. Вынесем его за скобки: $b^5 - b^4 = b^4(b - 1)$.

2. Подставим разложенный числитель в дробь: $\frac{b^4(b - 1)}{b^5}$.

3. Сократим дробь на общий множитель $b^4$ (при $b \neq 0$).

$\frac{b^4(b - 1)}{b^5} = \frac{b - 1}{b}$

Ответ: $\frac{b - 1}{b}$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{m^4 - m^3}{m^2 + m^3}$, найдем общие множители.

1. Разложим на множители числитель: $m^4 - m^3 = m^3(m - 1)$.

2. Разложим на множители знаменатель: $m^2 + m^3 = m^2(1 + m)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{m^3(m - 1)}{m^2(1 + m)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $m^2$ (при $m \neq 0$).

$\frac{m^3(m - 1)}{m^2(1 + m)} = \frac{m(m - 1)}{1 + m}$

Ответ: $\frac{m(m - 1)}{m + 1}$

е) Чтобы сократить дробь $\frac{n^2 - n - 1}{n^4 - n^3 - n^2}$, найдем общие множители.

1. Разложим знаменатель на множители. Общим множителем для всех членов является $n^2$. Вынесем его за скобки: $n^4 - n^3 - n^2 = n^2(n^2 - n - 1)$.

2. Подставим разложенный знаменатель в дробь: $\frac{n^2 - n - 1}{n^2(n^2 - n - 1)}$.

3. Сократим дробь на общий множитель $(n^2 - n - 1)$, при условии, что он не равен нулю.

$\frac{1 \cdot (n^2 - n - 1)}{n^2(n^2 - n - 1)} = \frac{1}{n^2}$

Ответ: $\frac{1}{n^2}$