Номер 1.30, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.30, страница 15.

Условие.

1.30 а) $\frac{x^2 - y^2}{(x+y)^2}$;

б) $\frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2}$;

в) $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$;

г) $\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^2 - y^2}{(x+y)^2}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2 - y^2$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Таким образом, $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Знаменатель $(x+y)^2$ можно записать как произведение $(x+y)(x+y)$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x+y)}$
Теперь можно сократить общий множитель $(x+y)$ в числителе и знаменателе.
В результате получаем: $\frac{x-y}{x+y}$.
Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2}$.
Числитель $(x-y)^2$ можно представить в виде произведения $(x-y)(x-y)$.
Знаменатель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которая раскладывается на множители как $(x-y)(x+y)$.
Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(x+y)}$
Сократим общий множитель $(x-y)$ в числителе и знаменателе.
Упрощенное выражение: $\frac{x-y}{x+y}$.
Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

в) Упростим выражение $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$.
Разложим числитель $x^2 - 9$ как разность квадратов, так как $9 = 3^2$. Получаем $x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.
Знаменатель $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом суммы, так как его можно представить в виде $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2$. По формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ получаем $(x+3)^2$.
Подставим полученные разложения в исходную дробь:
$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x+3)}$
Сокращаем общий множитель $(x+3)$.
Итоговое выражение: $\frac{x-3}{x+3}$.
Ответ: $\frac{x-3}{x+3}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25}$.
Числитель $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом разности. Его можно представить как $x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2$. По формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ получаем $(x-5)^2$.
Знаменатель $x^2 - 25$ — это разность квадратов $x^2 - 5^2$, которая раскладывается на $(x-5)(x+5)$.
Запишем дробь с разложенными множителями:
$\frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)} = \frac{(x-5)(x-5)}{(x-5)(x+5)}$
Сократим общий множитель $(x-5)$ в числителе и знаменателе.
Получаем упрощенную дробь: $\frac{x-5}{x+5}$.
Ответ: $\frac{x-5}{x+5}$