Номер 1.36, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.36, страница 16.

Условие.

Сократите дробь (1.36—1.37).

1.36 а) $ \frac{x^3 - xy^2}{x^2 - xy} $

б) $ \frac{2z^2 - 8}{6z^2 + 12z} $

в) $ \frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a - 6b} $

г) $ \frac{an + 3a}{an^2 + 6an + 9a} $

д) $ \frac{p^3 - p}{p^2 - p} $

е) $ \frac{a^2b + ab^2}{a^3b - ab^3} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 - xy^2}{x^2 - xy}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^2 - xy = x(x-y)$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{x(x-y)(x+y)}{x(x-y)}$.
Сократим общие множители $x$ и $(x-y)$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq y$):
$\frac{\cancel{x}\cancel{(x-y)}(x+y)}{\cancel{x}\cancel{(x-y)}} = x+y$.
Ответ: $x+y$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{2z^2 - 8}{6z^2 + 12z}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель 2 и применим формулу разности квадратов:
$2z^2 - 8 = 2(z^2 - 4) = 2(z-2)(z+2)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $6z$:
$6z^2 + 12z = 6z(z+2)$.
Получим дробь: $\frac{2(z-2)(z+2)}{6z(z+2)}$.
Сократим общие множители 2 и $(z+2)$ (при условии, что $z \neq 0$ и $z \neq -2$):
$\frac{\cancel{2}(z-2)\cancel{(z+2)}}{\cancel{6}_3 z\cancel{(z+2)}} = \frac{z-2}{3z}$.
Ответ: $\frac{z-2}{3z}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a - 6b}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель 3 и применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3(a^2 - 2ab + b^2) = 3(a-b)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель 6:
$6a - 6b = 6(a-b)$.
Получим дробь: $\frac{3(a-b)^2}{6(a-b)}$.
Сократим на 3 и на $(a-b)$ (при условии, что $a \neq b$):
$\frac{\cancel{3}(a-b)^{\cancel{2}}}{\cancel{6}_2 \cancel{(a-b)}} = \frac{a-b}{2}$.
Ответ: $\frac{a-b}{2}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{an + 3a}{an^2 + 6an + 9a}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $a$:
$an + 3a = a(n+3)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $a$ и применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$an^2 + 6an + 9a = a(n^2 + 6n + 9) = a(n+3)^2$.
Получим дробь: $\frac{a(n+3)}{a(n+3)^2}$.
Сократим на $a$ и на $(n+3)$ (при условии, что $a \neq 0$ и $n \neq -3$):
$\frac{\cancel{a}\cancel{(n+3)}}{\cancel{a}(n+3)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{n+3}$.
Ответ: $\frac{1}{n+3}$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{p^3 - p}{p^2 - p}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $p$ и применим формулу разности квадратов:
$p^3 - p = p(p^2 - 1) = p(p-1)(p+1)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $p$:
$p^2 - p = p(p-1)$.
Получим дробь: $\frac{p(p-1)(p+1)}{p(p-1)}$.
Сократим на общий множитель $p(p-1)$ (при условии, что $p \neq 0$ и $p \neq 1$):
$\frac{\cancel{p(p-1)}(p+1)}{\cancel{p(p-1)}} = p+1$.
Ответ: $p+1$

е) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2b + ab^2}{a^3b - ab^3}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $ab$:
$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $ab$ и применим формулу разности квадратов:
$a^3b - ab^3 = ab(a^2 - b^2) = ab(a-b)(a+b)$.
Получим дробь: $\frac{ab(a+b)}{ab(a-b)(a+b)}$.
Сократим на общий множитель $ab(a+b)$ (при условии, что $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $a \neq -b$):
$\frac{\cancel{ab(a+b)}}{\cancel{ab}(a-b)\cancel{(a+b)}} = \frac{1}{a-b}$.
Ответ: $\frac{1}{a-b}$