Номер 1.41, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.41, страница 17.

Условие.

1.41 a) $\frac{y^2-y}{1-y^2}$;

б) $\frac{a^2-4}{2a-a^2}$;

В) $\frac{3x-3c}{ac-ax}$;

Г) $\frac{5a^2-10ab}{2b^2-ab}$;

Д) $\frac{m^2-n^2}{(n-m)^2}$;

е) $\frac{z^2-3z}{9-6z+z^2}$;

Ж) $\frac{x^3-x}{x-x^2}$;

З) $\frac{a^2x-ax^2}{x^2-ax}$;

И) $\frac{p^2-2pn+n^2}{n^2-pn}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{y^2 - y}{1 - y^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y^2 - y = y(y - 1)$.

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $1 - y^2 = (1 - y)(1 + y)$.

Дробь примет вид: $\frac{y(y - 1)}{(1 - y)(1 + y)}$.

Заметим, что выражения $(y - 1)$ и $(1 - y)$ являются противоположными, то есть $y - 1 = -(1 - y)$. Заменим $(y-1)$ в числителе:

$\frac{-y(1 - y)}{(1 - y)(1 + y)}$.

Теперь можно сократить общий множитель $(1 - y)$:

$\frac{-y}{1 + y} = -\frac{y}{y+1}$.

Ответ: $-\frac{y}{y+1}$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 4}{2a - a^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель разложим по формуле разности квадратов: $a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $2a - a^2 = a(2 - a)$.

Дробь примет вид: $\frac{(a - 2)(a + 2)}{a(2 - a)}$.

Заметим, что $a - 2 = -(2 - a)$. Выполним замену в числителе:

$\frac{-(2 - a)(a + 2)}{a(2 - a)}$.

Сократим общий множитель $(2 - a)$:

$\frac{-(a + 2)}{a} = -\frac{a+2}{a}$.

Ответ: $-\frac{a+2}{a}$.

в)

Сократим дробь $\frac{3x - 3c}{ac - ax}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель 3: $3x - 3c = 3(x - c)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a$: $ac - ax = a(c - x)$.

Получаем дробь: $\frac{3(x - c)}{a(c - x)}$.

Заметим, что $x - c = -(c - x)$. Подставим это в числитель:

$\frac{-3(c - x)}{a(c - x)}$.

Сократим общий множитель $(c - x)$:

$-\frac{3}{a}$.

Ответ: $-\frac{3}{a}$.

г)

Сократим дробь $\frac{5a^2 - 10ab}{2b^2 - ab}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $5a$: $5a^2 - 10ab = 5a(a - 2b)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b$: $2b^2 - ab = b(2b - a)$.

Получаем дробь: $\frac{5a(a - 2b)}{b(2b - a)}$.

Заметим, что $a - 2b = -(2b - a)$. Подставим это в числитель:

$\frac{-5a(2b - a)}{b(2b - a)}$.

Сократим общий множитель $(2b - a)$:

$-\frac{5a}{b}$.

Ответ: $-\frac{5a}{b}$.

д)

Сократим дробь $\frac{m^2 - n^2}{(n - m)^2}$.

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$.

Знаменатель представляет собой квадрат разности. Воспользуемся свойством $(a - b)^2 = (b - a)^2$, поэтому $(n - m)^2 = (m - n)^2$.

Получаем дробь: $\frac{(m - n)(m + n)}{(m - n)^2}$.

Сократим общий множитель $(m - n)$:

$\frac{m + n}{m - n}$.

Ответ: $\frac{m + n}{m - n}$.

е)

Сократим дробь $\frac{z^2 - 3z}{9 - 6z + z^2}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $z$: $z^2 - 3z = z(z - 3)$.

Знаменатель является полным квадратом, который можно свернуть по формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$: $9 - 6z + z^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot z + z^2 = (3 - z)^2$.

Получаем дробь: $\frac{z(z - 3)}{(3 - z)^2}$.

Так как $(3 - z)^2 = (z - 3)^2$, перепишем дробь: $\frac{z(z - 3)}{(z - 3)^2}$.

Сократим общий множитель $(z - 3)$:

$\frac{z}{z - 3}$.

Ответ: $\frac{z}{z - 3}$.

ж)

Сократим дробь $\frac{x^3 - x}{x - x^2}$.

Разложим числитель на множители: $x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$.

Разложим знаменатель на множители: $x - x^2 = x(1 - x)$.

Получаем дробь: $\frac{x(x - 1)(x + 1)}{x(1 - x)}$.

Сократим общий множитель $x$: $\frac{(x - 1)(x + 1)}{1 - x}$.

Заметим, что $x - 1 = -(1 - x)$. Подставим это в числитель:

$\frac{-(1 - x)(x + 1)}{1 - x}$.

Сократим общий множитель $(1 - x)$:

$-(x + 1)$.

Ответ: $-(x + 1)$.

з)

Сократим дробь $\frac{a^2x - ax^2}{x^2 - ax}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ax$: $a^2x - ax^2 = ax(a - x)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $x$: $x^2 - ax = x(x - a)$.

Получаем дробь: $\frac{ax(a - x)}{x(x - a)}$.

Сократим общий множитель $x$: $\frac{a(a - x)}{x - a}$.

Заметим, что $a - x = -(x - a)$. Подставим это в числитель:

$\frac{-a(x - a)}{x - a}$.

Сократим общий множитель $(x - a)$:

$-a$.

Ответ: $-a$.

и)

Сократим дробь $\frac{p^2 - 2pn + n^2}{n^2 - pn}$.

Числитель является полным квадратом разности: $p^2 - 2pn + n^2 = (p - n)^2$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $n$: $n^2 - pn = n(n - p)$.

Получаем дробь: $\frac{(p - n)^2}{n(n - p)}$.

Так как $(p - n)^2 = (-(n - p))^2 = (n - p)^2$, перепишем дробь: $\frac{(n - p)^2}{n(n - p)}$.

Сократим общий множитель $(n - p)$:

$\frac{n - p}{n}$.

Ответ: $\frac{n - p}{n}$.