Номер 1.37, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.37, страница 16.

Условие.

1.37 a) $\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2};$

б) $\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2};$

в) $\frac{(x + y)^2}{x^3 + y^3};$

г) $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - x^2y + xy^2};$

д) $\frac{x^2 - y^2}{(x - y)^2(x + y)^2};$

е) $\frac{(x - y)^2(x + y)^2}{x^4 - y^4};$

Подсказка. Могут потребоваться формулы

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ и $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для упрощения дроби $\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2}$ разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель раскладывается по формуле разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим разложения в исходную дробь:

$\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x + y)}$

Сократим общий множитель $(x - y)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(x - y)}(x^2 + xy + y^2)}{\cancel{(x - y)}(x + y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}$

Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2}$.

Разложим числитель по формуле разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Знаменатель представляет собой квадрат разности: $(x - y)^2 = (x - y)(x - y)$.

Подставим разложение в дробь:

$\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2} = \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x - y)}$

Сократим общий множитель $(x - y)$:

$\frac{\cancel{(x - y)}(x^2 + xy + y^2)}{\cancel{(x - y)}(x - y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x - y}$

Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{x - y}$

в)

Упростим выражение $\frac{(x + y)^2}{x^3 + y^3}$.

Разложим знаменатель по формуле суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Числитель представим как $(x + y)^2 = (x + y)(x + y)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(x + y)^2}{x^3 + y^3} = \frac{(x + y)(x + y)}{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}$

Сократим общий множитель $(x + y)$:

$\frac{\cancel{(x + y)}(x + y)}{\cancel{(x + y)}(x^2 - xy + y^2)} = \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}$

Ответ: $\frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - x^2y + xy^2}$.

Разложим числитель по формуле суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^3 - x^2y + xy^2 = x(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{x^3 + y^3}{x^3 - x^2y + xy^2} = \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x(x^2 - xy + y^2)}$

Сократим общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$:

$\frac{(x + y)\cancel{(x^2 - xy + y^2)}}{x\cancel{(x^2 - xy + y^2)}} = \frac{x + y}{x}$

Ответ: $\frac{x + y}{x}$

д)

Упростим выражение $\frac{x^2 - y^2}{(x - y)^2(x + y)^2}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим разложение числителя в дробь:

$\frac{(x - y)(x + y)}{(x - y)^2(x + y)^2}$

Сократим общие множители $(x - y)$ и $(x + y)$, уменьшив их степени на 1:

$\frac{\cancel{(x - y)}\cancel{(x + y)}}{(x - y)^{\cancel{2}}(x + y)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{(x - y)(x + y)}$

Знаменатель можно упростить, применив формулу разности квадратов в обратном порядке: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Ответ: $\frac{1}{x^2 - y^2}$

е)

Рассмотрим дробь $\frac{(x - y)^2(x + y)^2}{x^4 - y^4}$.

Разложим знаменатель. Сначала представим его как разность квадратов $x^4 = (x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$:

$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.

Теперь разложим множитель $(x^2 - y^2)$ по той же формуле:

$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$.

Подставим разложение знаменателя в исходную дробь:

$\frac{(x - y)^2(x + y)^2}{(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)}$

Сократим общие множители $(x - y)$ и $(x + y)$:

$\frac{(x - y)^{\cancel{2}}(x + y)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x - y)}\cancel{(x + y)}(x^2 + y^2)} = \frac{(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2}$

Упростим числитель по формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

Ответ: $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$