Номер 1.31, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.31, страница 15.

Условие.

1.31 Восстановите запись:

a) $\frac{m}{n} = - \frac{\text{----}}{-n} = - \frac{-m}{\text{----}} = - \frac{\text{----}}{-n};$

б) $\frac{a}{a-b} = - \frac{-a}{\text{----}} = - \frac{-a}{b-a};$

в) $\frac{x-z}{x-y} = - \frac{\text{----}}{y-x} = - \frac{x-z}{\text{----}} = - \frac{\text{----}}{x-y};$

г) $\frac{p-c}{p+c} = - \frac{\text{----}}{p+c} = - \frac{p-c}{\text{----}} = - \frac{\text{----}}{-p-c}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы восстановить запись $\frac{m}{n} = \frac{...}{-n} = -\frac{-m}{...} = -\frac{...}{-n}$, мы будем последовательно заполнять пропуски, основываясь на основном свойстве дроби $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B} = -\frac{A}{-B} = -\frac{-A}{B}$.

1. Для первого равенства $\frac{m}{n} = \frac{...}{-n}$, мы видим, что знаменатель дроби умножен на $-1$ (из $n$ стал $-n$). Чтобы значение дроби не изменилось, необходимо умножить и числитель на $-1$. Таким образом, в числителе должно быть $m \cdot (-1) = -m$. Получаем: $\frac{m}{n} = \frac{-m}{-n}$.

2. Для второго равенства $\frac{m}{n} = -\frac{-m}{...}$, мы видим знак минуса перед дробью. Это равносильно тому, что либо числитель, либо знаменатель умножается на $-1$. Выражение $-\frac{-m}{...}$ можно переписать как $\frac{-(-m)}{...} = \frac{m}{...}$. Сравнивая с исходной дробью $\frac{m}{n}$, получаем, что пропущенный знаменатель равен $n$. Получаем: $\frac{m}{n} = -\frac{-m}{n}$.

3. Для третьего равенства $\frac{m}{n} = -\frac{...}{-n}$, мы также видим знак минуса перед дробью. Перепишем выражение $-\frac{...}{-n}$ как $\frac{...}{-(-n)} = \frac{...}{n}$. Сравнивая с исходной дробью $\frac{m}{n}$, получаем, что пропущенный числитель равен $m$. Получаем: $\frac{m}{n} = -\frac{m}{-n}$.

Ответ: $\frac{m}{n} = \frac{-m}{-n} = -\frac{-m}{n} = -\frac{m}{-n}$

б) Восстановим запись $\frac{a}{a-b} = \frac{-a}{...} = -\frac{-a}{...} = -\frac{...}{b-a}$.

1. В равенстве $\frac{a}{a-b} = \frac{-a}{...}$ числитель $a$ умножили на $-1$, получив $-a$. Следовательно, и знаменатель нужно умножить на $-1$: $(a-b) \cdot (-1) = -a+b = b-a$. Пропущенное выражение — это $b-a$. Получаем: $\frac{a}{a-b} = \frac{-a}{b-a}$.

2. В равенстве $\frac{a}{a-b} = -\frac{-a}{...}$ выражение справа можно преобразовать: $-\frac{-a}{...} = \frac{a}{...}$. Сравнивая с левой частью, видим, что числители равны, значит, и знаменатели должны быть равны. Пропущенное выражение — это $a-b$. Получаем: $\frac{a}{a-b} = -\frac{-a}{a-b}$.

3. В равенстве $\frac{a}{a-b} = -\frac{...}{b-a}$ заметим, что знаменатель $b-a = -(a-b)$. Преобразуем правую часть: $-\frac{...}{b-a} = -\frac{...}{-(a-b)} = \frac{...}{a-b}$. Сравнивая с левой частью, видим, что знаменатели равны, значит, и числители должны быть равны. Пропущенное выражение — это $a$. Получаем: $\frac{a}{a-b} = -\frac{a}{b-a}$.

Ответ: $\frac{a}{a-b} = \frac{-a}{b-a} = -\frac{-a}{a-b} = -\frac{a}{b-a}$

в) Восстановим запись $\frac{x-z}{x-y} = \frac{...}{y-x} = -\frac{x-z}{...} = -\frac{...}{x-y}$.

1. В равенстве $\frac{x-z}{x-y} = \frac{...}{y-x}$ знаменатель $x-y$ был умножен на $-1$, так как $y-x = -(x-y)$. Значит, и числитель нужно умножить на $-1$: $(x-z) \cdot (-1) = -x+z = z-x$. Пропущенное выражение — это $z-x$. Получаем: $\frac{x-z}{x-y} = \frac{z-x}{y-x}$.

2. В равенстве $\frac{x-z}{x-y} = -\frac{x-z}{...}$ преобразуем правую часть, внеся минус в знаменатель: $-\frac{x-z}{...} = \frac{x-z}{-...}$. Числители равны, значит, равны и знаменатели: $x-y = -...$. Отсюда пропущенное выражение равно $-(x-y) = y-x$. Получаем: $\frac{x-z}{x-y} = -\frac{x-z}{y-x}$.

3. В равенстве $\frac{x-z}{x-y} = -\frac{...}{x-y}$ преобразуем правую часть, внеся минус в числитель: $-\frac{...}{x-y} = \frac{-...}{x-y}$. Знаменатели равны, значит, равны и числители: $x-z = -...$. Отсюда пропущенное выражение равно $-(x-z) = z-x$. Получаем: $\frac{x-z}{x-y} = -\frac{z-x}{x-y}$.

Ответ: $\frac{x-z}{x-y} = \frac{z-x}{y-x} = -\frac{x-z}{y-x} = -\frac{z-x}{x-y}$

г) Восстановим запись $\frac{p-c}{p+c} = -\frac{...}{p+c} = -\frac{p-c}{...} = \frac{...}{-p-c}$.

1. В равенстве $\frac{p-c}{p+c} = -\frac{...}{p+c}$ внесем минус в числитель правой части: $\frac{-(...)}{p+c}$. Знаменатели равны, значит, должны быть равны и числители: $p-c = -(...)$. Отсюда пропущенное выражение равно $-(p-c) = c-p$. Получаем: $\frac{p-c}{p+c} = -\frac{c-p}{p+c}$.

2. В равенстве $\frac{p-c}{p+c} = -\frac{p-c}{...}$ внесем минус в знаменатель правой части: $\frac{p-c}{-(...)}$. Числители равны, значит, должны быть равны и знаменатели: $p+c = -(...)$. Отсюда пропущенное выражение равно $-(p+c) = -p-c$. Получаем: $\frac{p-c}{p+c} = -\frac{p-c}{-p-c}$.

3. В равенстве $\frac{p-c}{p+c} = \frac{...}{-p-c}$ знаменатель $-p-c = -(p+c)$, то есть знаменатель исходной дроби умножен на $-1$. Следовательно, и числитель нужно умножить на $-1$: $(p-c) \cdot (-1) = -p+c = c-p$. Пропущенное выражение — это $c-p$. Получаем: $\frac{p-c}{p+c} = \frac{c-p}{-p-c}$.

Ответ: $\frac{p-c}{p+c} = -\frac{c-p}{p+c} = -\frac{p-c}{-p-c} = \frac{c-p}{-p-c}$