Номер 1.35, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.35, страница 15.

Условие.

1.35 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

а) В футляр цилиндрической формы уложены 3 теннисных мяча так, что они касаются крышек и стенок футляра (рис. 1.3). Какую часть объёма футляра занимают мячи?

Рис. 1.3

(При решении пользуйтесь формулами объёма шара и объёма цилиндра: $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — радиус шара; $V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания цилиндра и $h$ — его высота.) Указание. Выразите высоту $h$ через радиус $r$.

б) В коробку уложены 3 банки консервов цилиндрической формы так, что они касаются друг друга и всех стенок коробки (рис. 1.4). Какую часть объёма коробки занимают банки? Выразите ответ обыкновенной дробью, считая, что $\pi \approx 3$.

Рис. 1.4

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы найти, какую часть объёма футляра занимают мячи, необходимо вычислить отношение общего объёма трёх мячей к объёму цилиндрического футляра.

Пусть $r$ — радиус одного теннисного мяча. Согласно условию, мячи касаются стенок футляра, следовательно, радиус основания цилиндрического футляра также равен $r$.

Три мяча уложены в ряд по высоте и касаются верхней и нижней крышек футляра. Высота, занимаемая одним мячом, равна его диаметру, то есть $2r$. Таким образом, общая высота футляра $h$ равна сумме диаметров трёх мячей:
$h = 3 \times (2r) = 6r$.

Теперь вычислим объёмы.
Объём одного мяча (шара) определяется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Суммарный объём трёх мячей составляет:
$V_{3 \text{ шаров}} = 3 \times V_{шара} = 3 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = 4\pi r^3$.

Объём футляра (цилиндра) вычисляется по формуле $V_{цилиндра} = \pi r^2 h$. Подставив найденное выражение для высоты $h = 6r$, получим:
$V_{цилиндра} = \pi r^2 (6r) = 6\pi r^3$.

Искомое отношение объёмов равно:
$\frac{V_{3 \text{ шаров}}}{V_{цилиндра}} = \frac{4\pi r^3}{6\pi r^3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б)

Чтобы определить, какую часть объёма коробки занимают консервные банки, нужно найти отношение суммарного объёма трёх банок к объёму коробки (прямоугольного параллелепипеда).

Пусть $r$ — радиус основания одной банки, а $h$ — её высота.

Определим размеры коробки исходя из того, что банки касаются её стенок и друг друга:
- Высота коробки совпадает с высотой банки: $h_{коробки} = h$.
- Ширина коробки равна диаметру основания банки: $ширина_{коробки} = 2r$.
- Длина коробки равна сумме диаметров трёх банок, стоящих в ряд: $длина_{коробки} = 3 \times (2r) = 6r$.

Теперь вычислим объёмы.
Объём одной банки (цилиндра) определяется по формуле $V_{банки} = \pi r^2 h$.
Суммарный объём трёх банок:
$V_{3 \text{ банок}} = 3 \times V_{банки} = 3 \pi r^2 h$.

Объём коробки (прямоугольного параллелепипеда) равен произведению её длины, ширины и высоты:
$V_{коробки} = длина_{коробки} \times ширина_{коробки} \times высота_{коробки} = (6r) \times (2r) \times h = 12r^2h$.

Найдём искомое отношение объёмов:
$\frac{V_{3 \text{ банок}}}{V_{коробки}} = \frac{3 \pi r^2 h}{12 r^2 h} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

По условию задачи, используем приближённое значение $\pi \approx 3$. Подставим его в полученную дробь:
$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.