Номер 1.38, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.38, страница 16.

Условие.

1.38 Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:

a) $ \frac{ax - ay}{ax + bx - ay - by} $

б) $ \frac{mn - pq + mq - pn}{pq + pn} $

в) $ \frac{ab + 1 + a + b}{ab + a} $

г) $ \frac{ax + ay - x^2 - xy}{ab + ac - bx - cx} $

д) $ \frac{x^2 + 2xy + y^2 - z^2}{x + y + z} $

е) $ \frac{a^2 + b^2 - 2ab - c^2}{a^2 - b^2 - c^2 - 2bc} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Разложим на множители числитель, вынеся общий множитель $a$ за скобки: $ax - ay = a(x - y)$. Разложим на множители знаменатель, применив метод группировки слагаемых: $ax + bx - ay - by = (ax + bx) - (ay + by) = x(a + b) - y(a + b) = (a + b)(x - y)$. Исходная дробь примет вид: $\frac{a(x - y)}{(a + b)(x - y)}$. Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$.
Ответ: $\frac{a}{a + b}$.

б) Разложим на множители числитель. Для этого перегруппируем слагаемые и применим метод группировки: $mn - pq + mq - pn = mn + mq - pn - pq = m(n + q) - p(n + q) = (m - p)(n + q)$. Разложим на множители знаменатель, вынеся общий множитель $p$ за скобки: $pq + pn = p(q + n)$. Исходная дробь примет вид: $\frac{(m - p)(n + q)}{p(n + q)}$. Сократим дробь на общий множитель $(n + q)$.
Ответ: $\frac{m - p}{p}$.

в) Разложим на множители числитель. Перегруппируем слагаемые и применим метод группировки: $ab + 1 + a + b = ab + a + b + 1 = a(b + 1) + 1(b + 1) = (a + 1)(b + 1)$. Разложим на множители знаменатель, вынеся общий множитель $a$ за скобки: $ab + a = a(b + 1)$. Исходная дробь примет вид: $\frac{(a + 1)(b + 1)}{a(b + 1)}$. Сократим дробь на общий множитель $(b + 1)$.
Ответ: $\frac{a + 1}{a}$.

г) Разложим на множители числитель методом группировки: $ax + ay - x^2 - xy = (ax + ay) - (x^2 + xy) = a(x + y) - x(x + y) = (a - x)(x + y)$. Разложим на множители знаменатель методом группировки: $ab + ac - bx - cx = (ab + ac) - (bx + cx) = a(b + c) - x(b + c) = (a - x)(b + c)$. Исходная дробь примет вид: $\frac{(a - x)(x + y)}{(a - x)(b + c)}$. Сократим дробь на общий множитель $(a - x)$.
Ответ: $\frac{x + y}{b + c}$.

д) Разложим на множители числитель. Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$. Тогда числитель можно записать как $(x + y)^2 - z^2$. Это формула разности квадратов, которую раскладываем на множители: $(x + y - z)(x + y + z)$. Знаменатель $x + y + z$ уже является простым выражением. Исходная дробь примет вид: $\frac{(x + y - z)(x + y + z)}{x + y + z}$. Сократим дробь на общий множитель $(x + y + z)$.
Ответ: $x + y - z$.

е) Разложим на множители числитель. Перегруппируем слагаемые, чтобы использовать формулу квадрата разности: $a^2 + b^2 - 2ab - c^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - c^2 = (a - b)^2 - c^2$. Теперь применим формулу разности квадратов: $(a - b - c)(a - b + c)$. Разложим на множители знаменатель. Перегруппируем слагаемые и вынесем знак минус, чтобы использовать формулу квадрата суммы: $a^2 - b^2 - c^2 - 2bc = a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - (b + c)^2$. Применим формулу разности квадратов: $(a - (b + c))(a + (b + c)) = (a - b - c)(a + b + c)$. Исходная дробь примет вид: $\frac{(a - b - c)(a - b + c)}{(a - b - c)(a + b + c)}$. Сократим дробь на общий множитель $(a - b - c)$.
Ответ: $\frac{a - b + c}{a + b + c}$.