Номер 1.43, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.43, страница 17.

Условие.

1.43 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Учащиеся выполняли задания на сокращение дробей. Ниже показано, как начали преобразования Андрей (А) и Борис (Б). Правильно ли сделал первые шаги каждый из учащихся? Если нет, то исправьте ошибку. Доведите каждое решение до конца.

А) $ \frac{(2a - 2b)^2}{8b - 8a} = \frac{2(a - b)^2}{8(b - a)} = ... $

Б) $ \frac{4m^2 - 4n^2}{(4n - 4m)^2} = \frac{4(m^2 - n^2)}{16(n - m)^2} = - \frac{(m - n)(m + n)}{4(m - n)^2} = ... $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

А)

Андрей допустил ошибку в первом же шаге преобразования. Ошибка заключается в том, что при вынесении общего множителя 2 из выражения $(2a-2b)$ из-под знака квадрата, он не был возведен в квадрат.

Правильное преобразование числителя: $(2a - 2b)^2 = (2(a - b))^2 = 2^2(a - b)^2 = 4(a - b)^2$. Андрей же неверно записал $2(a - b)^2$. Преобразование знаменателя $8b - 8a = 8(b - a)$ выполнено верно.

Исправим ошибку и доведем решение до конца:

$\frac{(2a - 2b)^2}{8b - 8a} = \frac{4(a - b)^2}{8(b - a)}$

Используем свойство $b - a = -(a - b)$, чтобы привести выражения в скобках к одному виду:

$\frac{4(a - b)^2}{-8(a - b)}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $4(a - b)$:

$\frac{4(a - b)(a-b)}{-8(a-b)} = \frac{a-b}{-2} = -\frac{a-b}{2} = \frac{b-a}{2}$

Ответ: Андрей сделал первый шаг неверно. Правильный результат упрощения: $\frac{b-a}{2}$.

Б)

Борис выполнил первый шаг преобразования верно, но во втором шаге, показанном в условии, допущена ошибка.

Первый шаг Бориса: $\frac{4m^2 - 4n^2}{(4n - 4m)^2} = \frac{4(m^2 - n^2)}{16(n - m)^2}$. Это преобразование верное, так как в числителе вынесен за скобки общий множитель 4, а в знаменателе $(4(n - m))^2 = 4^2(n - m)^2 = 16(n - m)^2$.

Однако следующий шаг, $\frac{4(m^2 - n^2)}{16(n - m)^2} = -\frac{(m - n)(m + n)}{4(m - n)^2}$, содержит ошибку. Ошибка заключается в необоснованном появлении знака "минус" перед дробью. На самом деле, $(n - m)^2 = (-(m-n))^2 = (m - n)^2$, поэтому при замене $(n-m)^2$ на $(m-n)^2$ знак выражения не меняется.

Доведем верное решение до конца, начиная с правильного первого шага:

$\frac{4(m^2 - n^2)}{16(n - m)^2}$

Используем в числителе формулу разности квадратов $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$, а в знаменателе свойство $(n-m)^2=(m-n)^2$:

$\frac{4(m - n)(m + n)}{16(m - n)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $4(m - n)$:

$\frac{4(m-n)(m+n)}{16(m-n)(m-n)} = \frac{m+n}{4(m-n)}$

Ответ: Первый шаг Борис сделал верно, но дальнейшие преобразования, показанные в задании, неверны. Правильный результат упрощения: $\frac{m+n}{4(m-n)}$.