Номер 3, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Вопросы к параграфу. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 3, страница 20.

Условие.

Найдите самый простой общий знаменатель следующих дробей и объясните свои действия:

а) $\frac{a}{a-b}$ и $\frac{b}{a}$;

б) $\frac{1}{xy^2}$ и $\frac{1}{x^2y}$;

в) $\frac{b}{a^2-ab}$ и $\frac{a}{ab-b^2}$.

Решение 4.

а) Для дробей $\frac{a}{a-b}$ и $\frac{b}{a}$.

Чтобы найти самый простой общий знаменатель, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей: $(a-b)$ и $a$. Знаменатели $(a-b)$ и $a$ не имеют общих множителей, кроме 1 (являются взаимно простыми выражениями). В таком случае, самый простой общий знаменатель равен их произведению.

Общий знаменатель = $a \cdot (a-b) = a(a-b)$.

Ответ: $a(a-b)$

б) Для дробей $\frac{1}{xy^2}$ и $\frac{1}{x^2y}$.

Знаменатели дробей представляют собой одночлены: $xy^2$ и $x^2y$. Чтобы найти их самый простой общий знаменатель, необходимо взять каждую переменную, входящую в состав знаменателей, с наибольшим показателем степени, с которым она встречается, и перемножить их.

Для переменной $x$ наибольшая степень равна 2 (из знаменателя $x^2y$). Для переменной $y$ наибольшая степень равна 2 (из знаменателя $xy^2$).

Перемножаем полученные степени переменных, чтобы получить общий знаменатель: $x^2y^2$.

Ответ: $x^2y^2$

в) Для дробей $\frac{b}{a^2 - ab}$ и $\frac{a}{ab - b^2}$.

Сначала необходимо разложить на множители каждый из знаменателей, чтобы определить их состав.

Разложим первый знаменатель, вынеся общий множитель $a$ за скобки: $a^2 - ab = a(a - b)$.

Разложим второй знаменатель, вынеся общий множитель $b$ за скобки: $ab - b^2 = b(a - b)$.

Теперь знаменатели представлены в виде произведений множителей: $a(a-b)$ и $b(a-b)$. Самый простой общий знаменатель должен содержать все множители из обоих разложений. Общий множитель $(a-b)$ берется один раз, и к нему добавляются уникальные для каждого знаменателя множители $a$ и $b$. Перемножив их все, получаем общий знаменатель.

Общий знаменатель = $a \cdot b \cdot (a - b) = ab(a-b)$.

Ответ: $ab(a-b)$