Номер 1.47, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.47, страница 20.

Условие.

1.47 а) $\frac{4a+1}{3a-3} - \frac{a+1}{3a-3};$

Б) $\frac{3a+2b}{a+b} + \frac{2a+3b}{a+b};$

В) $\frac{x+a}{a-5} - \frac{x+5}{a-5};$

Г) $\frac{2mn}{m^2-n^2} + \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2};$

Д) $\frac{k^2+k}{k^2-9} - \frac{7k-9}{k^2-9};$

е) $\frac{2a^2}{a^2-4a+4} - \frac{a^2+4}{a^2-4a+4}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы вычесть алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же. После этого, если возможно, следует упростить полученное выражение.
$\frac{4a+1}{3a-3} - \frac{a+1}{3a-3} = \frac{(4a+1) - (a+1)}{3a-3} = \frac{4a+1-a-1}{3a-3} = \frac{3a}{3a-3}$
Теперь упростим полученную дробь. Вынесем в знаменателе общий множитель 3 за скобки:
$\frac{3a}{3(a-1)}$
Сократим дробь на 3:
$\frac{a}{a-1}$
Ответ: $\frac{a}{a-1}$

б) Чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
$\frac{3a+2b}{a+b} + \frac{2a+3b}{a+b} = \frac{(3a+2b) + (2a+3b)}{a+b} = \frac{3a+2a+2b+3b}{a+b} = \frac{5a+5b}{a+b}$
В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки:
$\frac{5(a+b)}{a+b}$
Сократим дробь на выражение $(a+b)$:
$5$
Ответ: $5$

в) Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
$\frac{x+a}{a-5} - \frac{x+5}{a-5} = \frac{(x+a) - (x+5)}{a-5} = \frac{x+a-x-5}{a-5} = \frac{a-5}{a-5}$
Так как числитель и знаменатель равны (при условии, что $a-5 \neq 0$), дробь равна единице.
$1$
Ответ: $1$

г) Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
$\frac{2mn}{m^2-n^2} + \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} = \frac{2mn + m^2+n^2}{m^2-n^2} = \frac{m^2+2mn+n^2}{m^2-n^2}$
Числитель представляет собой формулу квадрата суммы: $m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2$.
Знаменатель представляет собой формулу разности квадратов: $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.
Подставим эти выражения в дробь:
$\frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)}$
Сократим дробь на общий множитель $(m+n)$:
$\frac{m+n}{m-n}$
Ответ: $\frac{m+n}{m-n}$

д) Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
$\frac{k^2+k}{k^2-9} - \frac{7k-9}{k^2-9} = \frac{(k^2+k) - (7k-9)}{k^2-9} = \frac{k^2+k-7k+9}{k^2-9} = \frac{k^2-6k+9}{k^2-9}$
Числитель является квадратом разности: $k^2-6k+9 = (k-3)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $k^2-9 = (k-3)(k+3)$.
Получим дробь:
$\frac{(k-3)^2}{(k-3)(k+3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(k-3)$:
$\frac{k-3}{k+3}$
Ответ: $\frac{k-3}{k+3}$

е) Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
$\frac{2a^2}{a^2-4a+4} - \frac{a^2+4}{a^2-4a+4} = \frac{2a^2 - (a^2+4)}{a^2-4a+4} = \frac{2a^2-a^2-4}{a^2-4a+4} = \frac{a^2-4}{a^2-4a+4}$
В числителе используем формулу разности квадратов: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.
В знаменателе используем формулу квадрата разности: $a^2-4a+4 = (a-2)^2$.
Получим дробь:
$\frac{(a-2)(a+2)}{(a-2)^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(a-2)$:
$\frac{a+2}{a-2}$
Ответ: $\frac{a+2}{a-2}$