Номер 1.50, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.50, страница 21.

Условие.

1.50 a) $ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+y}; $

Б) $ \frac{5}{a} + \frac{3a-5}{a+1}; $

В) $ \frac{x}{x+y} - \frac{x-y}{x}; $

Г) $ \frac{m+n}{m} - \frac{n+m}{m-n}; $

Д) $ \frac{2c}{c-d} - \frac{c+d}{c}; $

е) $ \frac{p}{q-p} - \frac{p}{q}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x+y}$, их необходимо привести к общему знаменателю. Знаменатели $x$ и $x+y$ не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель равен их произведению: $x(x+y)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(x+y)$, а для второй дроби — $x$.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+y} = \frac{1 \cdot (x+y)}{x(x+y)} + \frac{1 \cdot x}{x(x+y)} = \frac{x+y+x}{x(x+y)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2x+y}{x(x+y)}$

Ответ: $\frac{2x+y}{x(x+y)}$

б) Чтобы сложить дроби $\frac{5}{a}$ и $\frac{3a-5}{a+1}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей $a$ и $a+1$, то есть $a(a+1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(a+1)$, для второй — $a$.

$\frac{5}{a} + \frac{3a-5}{a+1} = \frac{5(a+1)}{a(a+1)} + \frac{a(3a-5)}{a(a+1)} = \frac{5a+5+3a^2-5a}{a(a+1)}$

Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые:

$\frac{3a^2 + (5a-5a) + 5}{a(a+1)} = \frac{3a^2+5}{a(a+1)}$

Ответ: $\frac{3a^2+5}{a(a+1)}$

в) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x}{x+y} - \frac{x-y}{x}$, приведем их к общему знаменателю, который равен $x(x+y)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй — $(x+y)$.

$\frac{x}{x+y} - \frac{x-y}{x} = \frac{x \cdot x}{x(x+y)} - \frac{(x-y)(x+y)}{x(x+y)}$

Выполним умножение в числителях. Во втором числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\frac{x^2 - (x^2-y^2)}{x(x+y)} = \frac{x^2-x^2+y^2}{x(x+y)} = \frac{y^2}{x(x+y)}$

Ответ: $\frac{y^2}{x(x+y)}$

г) Для вычитания дробей $\frac{m+n}{m} - \frac{n+m}{m-n}$ найдем общий знаменатель. Он равен $m(m-n)$. Заметим, что $n+m = m+n$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(m-n)$, для второй — $m$.

$\frac{m+n}{m} - \frac{m+n}{m-n} = \frac{(m+n)(m-n)}{m(m-n)} - \frac{m(m+n)}{m(m-n)}$

Раскроем скобки в числителях. В первом числителе применим формулу разности квадратов:

$\frac{(m^2-n^2) - (m^2+mn)}{m(m-n)} = \frac{m^2-n^2-m^2-mn}{m(m-n)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-n^2-mn}{m(m-n)} = \frac{-n(n+m)}{m(m-n)}$

Ответ: $\frac{-n(n+m)}{m(m-n)}$

д) Для вычитания дробей $\frac{2c}{c-d} - \frac{c+d}{c}$ приведем их к общему знаменателю $c(c-d)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $(c-d)$.

$\frac{2c \cdot c}{c(c-d)} - \frac{(c+d)(c-d)}{c(c-d)} = \frac{2c^2 - (c^2-d^2)}{c(c-d)}$

Раскроем скобки в числителе (используя формулу разности квадратов для второго слагаемого) и приведем подобные:

$\frac{2c^2 - c^2 + d^2}{c(c-d)} = \frac{c^2+d^2}{c(c-d)}$

Ответ: $\frac{c^2+d^2}{c(c-d)}$

е) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{p}{q-p} - \frac{p}{q}$, найдем общий знаменатель, который равен $q(q-p)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $q$, для второй — $(q-p)$.

$\frac{p \cdot q}{q(q-p)} - \frac{p(q-p)}{q(q-p)} = \frac{pq - (pq-p^2)}{q(q-p)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{pq - pq + p^2}{q(q-p)} = \frac{p^2}{q(q-p)}$

Ответ: $\frac{p^2}{q(q-p)}$