Номер 1.57, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.57, страница 22.

Условие.

1.57 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Найдите значение выражения при заданных значениях переменных:

а) $ \frac{4}{x} + \frac{20}{x^2 - 5x}; x = -19; $

б) $ \frac{n^2}{mn - m^2} - \frac{m}{n - m}; m = -0,5; n = 2,5; $

в) $ \frac{a}{a - c} - \frac{2ac - c^2}{a^2 - ac}; a = -100; c = -85; $

г) $ \frac{y^2 + 4}{y^2 - 2y} - \frac{2}{y - 2}; y = \frac{1}{6}; $

д) $ \frac{2}{a^2 + ab} + \frac{2}{b^2 + ab}; a = 0,25; b = 4; $

е) $ \frac{1}{xy - x^2} - \frac{1}{y^2 - xy}; x = -0,17; y = 100. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого разложим знаменатель второй дроби на множители и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4}{x} + \frac{20}{x^2 - 5x} = \frac{4}{x} + \frac{20}{x(x - 5)}$

Общий знаменатель – $x(x - 5)$. Приведем первую дробь к этому знаменателю:

$\frac{4(x - 5)}{x(x - 5)} + \frac{20}{x(x - 5)} = \frac{4(x - 5) + 20}{x(x - 5)} = \frac{4x - 20 + 20}{x(x - 5)} = \frac{4x}{x(x - 5)}$

Сократим дробь на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\frac{4}{x - 5}$

Теперь подставим значение $x = -19$ в упрощенное выражение:

$\frac{4}{-19 - 5} = \frac{4}{-24} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

б)

Упростим выражение. Разложим знаменатель первой дроби на множители:

$\frac{n^2}{mn - m^2} - \frac{m}{n - m} = \frac{n^2}{m(n - m)} - \frac{m}{n - m}$

Приведем дроби к общему знаменателю $m(n - m)$:

$\frac{n^2}{m(n - m)} - \frac{m \cdot m}{m(n - m)} = \frac{n^2 - m^2}{m(n - m)}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(n - m)(n + m)}{m(n - m)}$

Сократим дробь на $(n - m)$ (при условии, что $n \neq m$):

$\frac{n + m}{m}$

Подставим значения $m = -0,5$ и $n = 2,5$:

$\frac{2,5 + (-0,5)}{-0,5} = \frac{2,5 - 0,5}{-0,5} = \frac{2}{-0,5} = -4$

Ответ: $-4$

в)

Упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель второй дроби на множители:

$\frac{a}{a - c} - \frac{2ac - c^2}{a^2 - ac} = \frac{a}{a - c} - \frac{2ac - c^2}{a(a - c)}$

Общий знаменатель – $a(a - c)$. Приводим дроби к нему:

$\frac{a \cdot a}{a(a - c)} - \frac{2ac - c^2}{a(a - c)} = \frac{a^2 - (2ac - c^2)}{a(a - c)} = \frac{a^2 - 2ac + c^2}{a(a - c)}$

Числитель является полным квадратом разности: $a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2$.

$\frac{(a - c)^2}{a(a - c)}$

Сократим дробь на $(a - c)$ (при условии, что $a \neq c$):

$\frac{a - c}{a}$

Подставим значения $a = -100$ и $c = -85$:

$\frac{-100 - (-85)}{-100} = \frac{-100 + 85}{-100} = \frac{-15}{-100} = 0,15$

Ответ: $0,15$

г)

Упростим выражение. Разложим знаменатель первой дроби на множители:

$\frac{y^2 + 4}{y^2 - 2y} - \frac{2}{y - 2} = \frac{y^2 + 4}{y(y - 2)} - \frac{2}{y - 2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y(y - 2)$:

$\frac{y^2 + 4}{y(y - 2)} - \frac{2y}{y(y - 2)} = \frac{y^2 + 4 - 2y}{y(y - 2)} = \frac{y^2 - 2y + 4}{y(y - 2)}$

Для удобства вычислений можно представить выражение в виде $1 + \frac{4}{y(y-2)}$. Подставим значение $y = \frac{1}{6}$:

$1 + \frac{4}{\frac{1}{6}(\frac{1}{6} - 2)} = 1 + \frac{4}{\frac{1}{6}(\frac{1}{6} - \frac{12}{6})} = 1 + \frac{4}{\frac{1}{6}(-\frac{11}{6})} = 1 + \frac{4}{-\frac{11}{36}}$

$1 - 4 \cdot \frac{36}{11} = 1 - \frac{144}{11} = \frac{11}{11} - \frac{144}{11} = -\frac{133}{11}$

Ответ: $-\frac{133}{11}$

д)

Упростим выражение, разложив знаменатели на множители:

$\frac{2}{a^2 + ab} + \frac{2}{b^2 + ab} = \frac{2}{a(a + b)} + \frac{2}{b(b + a)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab(a + b)$:

$\frac{2b}{ab(a + b)} + \frac{2a}{ab(a + b)} = \frac{2b + 2a}{ab(a + b)} = \frac{2(a + b)}{ab(a + b)}$

Сократим дробь на $(a + b)$ (при условии, что $a \neq -b$):

$\frac{2}{ab}$

Подставим значения $a = 0,25$ и $b = 4$:

$\frac{2}{0,25 \cdot 4} = \frac{2}{1} = 2$

Ответ: $2$

е)

Упростим выражение. Разложим знаменатели на множители:

$\frac{1}{xy - x^2} - \frac{1}{y^2 - xy} = \frac{1}{x(y - x)} - \frac{1}{y(y - x)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $xy(y - x)$:

$\frac{y}{xy(y - x)} - \frac{x}{xy(y - x)} = \frac{y - x}{xy(y - x)}$

Сократим дробь на $(y - x)$ (при условии, что $y \neq x$):

$\frac{1}{xy}$

Подставим значения $x = -0,17$ и $y = 100$:

$\frac{1}{-0,17 \cdot 100} = \frac{1}{-17} = -\frac{1}{17}$

Ответ: $-\frac{1}{17}$