Номер 1.59, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.59, страница 23.

Условие.

1.59 Упростите выражение:

а) $ \frac{b}{b-1} - \frac{b-2}{1-b} $

б) $ \frac{4}{2a-1} + \frac{3-2a}{1-2a} $

в) $ \frac{2c-5}{a-c} - \frac{c+5}{c-a} $

г) $ \frac{x^2}{x-3} + \frac{9}{3-x} $

д) $ \frac{m}{m^2-4} - \frac{2}{4-m^2} $

е) $ \frac{2x-1}{x-y} + \frac{x-1}{y-x} $

Подсказка. В каждом случае примените один из способов, рассмотренных в упражнении 1.58, — наиболее удобный для данного случая.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) В выражении $\frac{b}{b-1} - \frac{b-2}{1-b}$ знаменатели дробей $b-1$ и $1-b$ являются противоположными числами, так как $1-b = -(b-1)$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, преобразуем вторую дробь, изменив знак перед дробью и знак знаменателя: $\frac{b}{b-1} - \frac{b-2}{-(b-1)} = \frac{b}{b-1} + \frac{b-2}{b-1}$. Теперь, когда у дробей общий знаменатель, сложим их числители: $\frac{b+(b-2)}{b-1} = \frac{2b-2}{b-1}$. В числителе вынесем за скобки общий множитель 2: $\frac{2(b-1)}{b-1}$. Сократив дробь на $(b-1)$ (при условии, что $b \neq 1$), получим 2.
Ответ: $2$.

б) В выражении $\frac{4}{2a-1} + \frac{3-2a}{1-2a}$ знаменатели $2a-1$ и $1-2a$ противоположны: $1-2a = -(2a-1)$. Приведем дроби к общему знаменателю $2a-1$. Для этого изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя: $\frac{4}{2a-1} - \frac{3-2a}{2a-1}$. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{4-(3-2a)}{2a-1} = \frac{4-3+2a}{2a-1} = \frac{1+2a}{2a-1}$.
Ответ: $\frac{2a+1}{2a-1}$.

в) В выражении $\frac{2c-5}{a-c} - \frac{c+5}{c-a}$ знаменатели $a-c$ и $c-a$ являются противоположными: $c-a = -(a-c)$. Преобразуем вторую дробь, поменяв знак перед ней и в знаменателе: $\frac{2c-5}{a-c} - \frac{c+5}{-(a-c)} = \frac{2c-5}{a-c} + \frac{c+5}{a-c}$. Сложим дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{2c-5+c+5}{a-c} = \frac{3c}{a-c}$.
Ответ: $\frac{3c}{a-c}$.

г) В выражении $\frac{x^2}{x-3} + \frac{9}{3-x}$ знаменатель второй дроби $3-x$ можно записать как $-(x-3)$. Приведем дроби к общему знаменателю $x-3$: $\frac{x^2}{x-3} + \frac{9}{-(x-3)} = \frac{x^2}{x-3} - \frac{9}{x-3}$. Выполним вычитание: $\frac{x^2-9}{x-3}$. Числитель $x^2-9$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Получаем дробь: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$. Сократив на $(x-3)$ (при $x \neq 3$), получим $x+3$.
Ответ: $x+3$.

д) В выражении $\frac{m}{m^2-4} - \frac{2}{4-m^2}$ знаменатели $m^2-4$ и $4-m^2$ противоположны: $4-m^2 = -(m^2-4)$. Преобразуем выражение, изменив знак перед второй дробью и ее знаменатель: $\frac{m}{m^2-4} - \frac{2}{-(m^2-4)} = \frac{m}{m^2-4} + \frac{2}{m^2-4}$. Сложим дроби: $\frac{m+2}{m^2-4}$. Знаменатель $m^2-4$ — это разность квадратов: $(m-2)(m+2)$. Получаем: $\frac{m+2}{(m-2)(m+2)}$. Сократим дробь на $(m+2)$ (при $m \neq -2$), в результате останется $\frac{1}{m-2}$.
Ответ: $\frac{1}{m-2}$.

е) В выражении $\frac{2x-1}{x-y} + \frac{x-1}{y-x}$ знаменатели $x-y$ и $y-x$ являются противоположными числами: $y-x = -(x-y)$. Приведем дроби к общему знаменателю $x-y$: $\frac{2x-1}{x-y} + \frac{x-1}{-(x-y)} = \frac{2x-1}{x-y} - \frac{x-1}{x-y}$. Выполним вычитание числителей: $\frac{(2x-1)-(x-1)}{x-y} = \frac{2x-1-x+1}{x-y} = \frac{x}{x-y}$.
Ответ: $\frac{x}{x-y}$.