Номер 1.66, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.66, страница 24.

Условие.

1.66 a) $\frac{4}{a} + \frac{4}{a^2 - a} - \frac{2}{a+1};$

б) $\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} + \frac{8}{x};$

В) $\frac{x+1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x};$

Г) $\frac{1}{m+n} - \frac{m+n}{m^2 - mn + n^2} + \frac{4mn}{m^3 + n^3}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы выполнить действия с дробями $\frac{4}{a} + \frac{4}{a^2-a} - \frac{2}{a+1}$, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:

$a^2-a = a(a-1)$

Знаменатели дробей: $a$, $a(a-1)$, $a+1$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет произведением всех уникальных множителей: $НОЗ = a(a-1)(a+1)$.

Приведем каждую дробь к новому знаменателю:

$\frac{4}{a} + \frac{4}{a(a-1)} - \frac{2}{a+1} = \frac{4(a-1)(a+1)}{a(a-1)(a+1)} + \frac{4(a+1)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{2a(a-1)}{a(a-1)(a+1)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним действия с числителями:

$\frac{4(a^2-1) + 4(a+1) - 2a(a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{4a^2 - 4 + 4a + 4 - (2a^2 - 2a)}{a(a-1)(a+1)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{4a^2 - 4 + 4a + 4 - 2a^2 + 2a}{a(a-1)(a+1)} = \frac{(4a^2 - 2a^2) + (4a + 2a) + (-4 + 4)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{2a^2+6a}{a(a^2-1)}$

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{2a(a+3)}{a(a^2-1)} = \frac{2(a+3)}{a^2-1}$

Ответ: $\frac{2(a+3)}{a^2-1}$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} + \frac{8}{x}$. Общий знаменатель для дробей — это $x(x+2)(x-2) = x(x^2-4)$.

Приведем все дроби к общему знаменателю:

$\frac{(x-2)x(x-2)}{x(x+2)(x-2)} - \frac{(x+2)x(x+2)}{x(x+2)(x-2)} + \frac{8(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}$

Объединим дроби, выполняя действия в числителе:

$\frac{x(x-2)^2 - x(x+2)^2 + 8(x^2-4)}{x(x^2-4)}$

Раскроем скобки в числителе. Используем формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$\frac{x(x^2-4x+4) - x(x^2+4x+4) + 8x^2-32}{x(x^2-4)}$

$\frac{(x^3-4x^2+4x) - (x^3+4x^2+4x) + 8x^2-32}{x(x^2-4)}$

$\frac{x^3-4x^2+4x - x^3-4x^2-4x + 8x^2-32}{x(x^2-4)}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(x^3-x^3) + (-4x^2-4x^2+8x^2) + (4x-4x) - 32}{x(x^2-4)} = \frac{0 + 0 + 0 - 32}{x(x^2-4)} = \frac{-32}{x(x^2-4)}$

Ответ: $-\frac{32}{x(x^2-4)}$

в)

Упростим выражение $\frac{x+1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x}$.

Знаменатели дробей: $(x-1)^2$, $(x-1)$, $x$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $x(x-1)^2$.

Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{(x+1)x}{x(x-1)^2} - \frac{1 \cdot x(x-1)}{x(x-1)^2} + \frac{1 \cdot (x-1)^2}{x(x-1)^2}$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{x(x+1) - x(x-1) + (x-1)^2}{x(x-1)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{(x^2+x) - (x^2-x) + (x^2-2x+1)}{x(x-1)^2} = \frac{x^2+x - x^2+x + x^2-2x+1}{x(x-1)^2}$

Приведем подобные члены в числителе:

$\frac{(x^2-x^2+x^2) + (x+x-2x) + 1}{x(x-1)^2} = \frac{x^2+1}{x(x-1)^2}$

Ответ: $\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}$

г)

Рассмотрим выражение $\frac{1}{m+n} - \frac{m+n}{m^2-mn+n^2} + \frac{4mn}{m^3+n^3}$.

Для нахождения общего знаменателя разложим на множители знаменатель третьей дроби, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$m^3+n^3 = (m+n)(m^2-mn+n^2)$

Видим, что знаменатель третьей дроби является общим знаменателем для всех трех дробей.

Приведем дроби к общему знаменателю $m^3+n^3$:

$\frac{1(m^2-mn+n^2)}{(m+n)(m^2-mn+n^2)} - \frac{(m+n)(m+n)}{(m+n)(m^2-mn+n^2)} + \frac{4mn}{m^3+n^3}$

$\frac{m^2-mn+n^2}{m^3+n^3} - \frac{(m+n)^2}{m^3+n^3} + \frac{4mn}{m^3+n^3}$

Объединим дроби:

$\frac{m^2-mn+n^2 - (m+n)^2 + 4mn}{m^3+n^3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{m^2-mn+n^2 - (m^2+2mn+n^2) + 4mn}{m^3+n^3} = \frac{m^2-mn+n^2 - m^2-2mn-n^2 + 4mn}{m^3+n^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(m^2-m^2) + (n^2-n^2) + (-mn-2mn+4mn)}{m^3+n^3} = \frac{mn}{m^3+n^3}$

Ответ: $\frac{mn}{m^3+n^3}$