Номер 1.67, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.67, страница 24.

Условие.

1.67 а) $\frac{m+n}{m-n} + \frac{4mn}{n^2-m^2}$

б) $\frac{1-a}{a^2-a} - \frac{1+a}{1-a^2}$

В) $\frac{b}{ab-a^2} + \frac{a}{ab-b^2}$

Г) $\frac{4}{c^2-25} + \frac{2}{5c-c^2}$

Д) $\frac{x^2}{(x-3)^2} + \frac{x}{3-x}$

е) $\frac{y^2}{(1-y)^2} - \frac{y+1}{y-1}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{m+n}{m-n} + \frac{4mn}{n^2-m^2}$, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $n^2-m^2 = (n-m)(n+m)$. Заметим, что $n-m = -(m-n)$. Это позволяет нам преобразовать вторую дробь, чтобы знаменатели содержали одинаковый множитель: $\frac{4mn}{n^2-m^2} = \frac{4mn}{(n-m)(n+m)} = \frac{4mn}{-(m-n)(m+n)} = -\frac{4mn}{(m-n)(m+n)}$. Теперь исходное выражение можно переписать так: $\frac{m+n}{m-n} - \frac{4mn}{(m-n)(m+n)}$. Общим знаменателем является $(m-n)(m+n)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(m+n)$: $\frac{(m+n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{4mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2 - 4mn}{(m-n)(m+n)}$. Упростим числитель. Раскроем квадрат суммы: $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$. Тогда числитель равен: $m^2 + 2mn + n^2 - 4mn = m^2 - 2mn + n^2$. Это выражение является полным квадратом разности: $(m-n)^2$. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $\frac{(m-n)^2}{(m-n)(m+n)}$. Сократим дробь на общий множитель $(m-n)$: $\frac{m-n}{m+n}$.
Ответ: $\frac{m-n}{m+n}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{1-a}{a^2-a} - \frac{1+a}{1-a^2}$. Разложим знаменатели на множители: $a^2-a = a(a-1)$. $1-a^2 = (1-a)(1+a)$. Выражение принимает вид: $\frac{1-a}{a(a-1)} - \frac{1+a}{(1-a)(1+a)}$. Чтобы найти общий знаменатель, заметим, что $1-a = -(a-1)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя: $\frac{1+a}{(1-a)(1+a)} = \frac{1+a}{-(a-1)(1+a)}$. Тогда исходное выражение можно переписать как: $\frac{1-a}{a(a-1)} - \frac{1+a}{-(a-1)(1+a)} = \frac{1-a}{a(a-1)} + \frac{1+a}{(a-1)(a+1)}$. Общий знаменатель $a(a-1)(a+1)$. Приведем дроби к нему: $\frac{(1-a)(a+1)}{a(a-1)(a+1)} + \frac{a(1+a)}{a(a-1)(a+1)}$. Сложим числители: $\frac{(1-a)(a+1) + a(1+a)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{(1-a^2) + (a+a^2)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{1-a^2+a+a^2}{a(a-1)(a+1)} = \frac{1+a}{a(a-1)(a+1)}$. Сократим дробь на $(a+1)$: $\frac{1}{a(a-1)}$.
Ответ: $\frac{1}{a(a-1)}$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{b}{ab-a^2} + \frac{a}{ab-b^2}$. Разложим знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки: $ab-a^2 = a(b-a)$. $ab-b^2 = b(a-b)$. Заметим, что множители $(b-a)$ и $(a-b)$ отличаются только знаком: $b-a = -(a-b)$. Преобразуем первую дробь: $\frac{b}{a(b-a)} = \frac{b}{-a(a-b)} = -\frac{b}{a(a-b)}$. Теперь сложим дроби: $-\frac{b}{a(a-b)} + \frac{a}{b(a-b)}$. Общий знаменатель $ab(a-b)$. Приводим дроби к нему: $\frac{-b \cdot b}{ab(a-b)} + \frac{a \cdot a}{ab(a-b)} = \frac{-b^2 + a^2}{ab(a-b)} = \frac{a^2-b^2}{ab(a-b)}$. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $\frac{(a-b)(a+b)}{ab(a-b)}$. Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$: $\frac{a+b}{ab}$.
Ответ: $\frac{a+b}{ab}$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{4}{c^2-25} + \frac{2}{5c-c^2}$. Разложим знаменатели на множители: $c^2-25 = (c-5)(c+5)$ (разность квадратов). $5c-c^2 = c(5-c)$ (вынесение общего множителя). Заметим, что $5-c = -(c-5)$. Преобразуем вторую дробь: $\frac{2}{c(5-c)} = \frac{2}{-c(c-5)} = -\frac{2}{c(c-5)}$. Теперь выражение имеет вид: $\frac{4}{(c-5)(c+5)} - \frac{2}{c(c-5)}$. Общий знаменатель $c(c-5)(c+5)$. Приводим дроби к нему: $\frac{4c}{c(c-5)(c+5)} - \frac{2(c+5)}{c(c-5)(c+5)}$. Объединим числители под общей чертой: $\frac{4c - 2(c+5)}{c(c-5)(c+5)} = \frac{4c - 2c - 10}{c(c-5)(c+5)} = \frac{2c-10}{c(c-5)(c+5)}$. Вынесем в числителе общий множитель 2: $2c-10 = 2(c-5)$. $\frac{2(c-5)}{c(c-5)(c+5)}$. Сократим дробь на $(c-5)$: $\frac{2}{c(c+5)}$.
Ответ: $\frac{2}{c(c+5)}$.

д) Рассмотрим выражение $\frac{x^2}{(x-3)^2} + \frac{x}{3-x}$. Знаменатели $(x-3)^2$ и $3-x$. Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Преобразуем вторую дробь: $\frac{x}{3-x} = \frac{x}{-(x-3)} = -\frac{x}{x-3}$. Теперь выражение выглядит так: $\frac{x^2}{(x-3)^2} - \frac{x}{x-3}$. Общий знаменатель $(x-3)^2$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(x-3)$: $\frac{x^2}{(x-3)^2} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x-3)} = \frac{x^2 - x(x-3)}{(x-3)^2}$. Упростим числитель: $x^2 - x(x-3) = x^2 - (x^2 - 3x) = x^2 - x^2 + 3x = 3x$. Итоговое выражение: $\frac{3x}{(x-3)^2}$.
Ответ: $\frac{3x}{(x-3)^2}$.

е) Рассмотрим выражение $\frac{y^2}{(1-y)^2} - \frac{y+1}{y-1}$. Знаменатели $(1-y)^2$ и $y-1$. Заметим, что $(1-y)^2 = (-(y-1))^2 = (y-1)^2$. Также $y-1 = -(1-y)$. Преобразуем вторую дробь, чтобы привести к общему основанию $(1-y)$: $\frac{y+1}{y-1} = \frac{y+1}{-(1-y)} = -\frac{y+1}{1-y}$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{y^2}{(1-y)^2} - (-\frac{y+1}{1-y}) = \frac{y^2}{(1-y)^2} + \frac{y+1}{1-y}$. Общий знаменатель $(1-y)^2$. Приведем вторую дробь к нему: $\frac{y^2}{(1-y)^2} + \frac{(y+1)(1-y)}{(1-y)(1-y)} = \frac{y^2 + (y+1)(1-y)}{(1-y)^2}$. Упростим числитель. Выражение $(y+1)(1-y)$ - это разность квадратов $(1+y)(1-y) = 1^2 - y^2 = 1-y^2$. Числитель примет вид: $y^2 + (1-y^2) = y^2 + 1 - y^2 = 1$. Итоговая дробь: $\frac{1}{(1-y)^2}$.
Ответ: $\frac{1}{(1-y)^2}$.