Номер 1.72, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.72, страница 25.

Условие.

1.72 Исследуем

1) Проверьте равенства:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3}$, $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \cdot 4}$, $\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4 \cdot 5}$, $\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{5 \cdot 6}$.

Продолжите эту цепочку равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.

2) Примените доказанное равенство для упрощения выражений:

а) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$

б) $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \dots + \frac{1}{(x+99)(x+100)}$

3) Упростите эти выражения другим способом, последовательно не складывая дроби. Получился ли тот же результат?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Все приведенные равенства верны. Проверим это на примере первого: $ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} $, что совпадает с $ \frac{1}{2 \cdot 3} $. Остальные равенства проверяются аналогично.

Эта закономерность продолжается так: $ \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6 \cdot 7} $, затем $ \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{1}{7 \cdot 8} $, и так далее.

Соответствующее буквенное равенство (тождество) для любого числа $n$, для которого знаменатели не равны нулю, выглядит так:

$ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} $

Доказательство тождества:

Преобразуем левую часть, приведя дроби к общему знаменателю $n(n+1)$:

$ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1 \cdot (n+1)}{n(n+1)} - \frac{1 \cdot n}{n(n+1)} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Равенства верны. Соответствующее буквенное равенство: $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} $.

2) а)

Применим доказанное в пункте 1 тождество $ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $ к каждому слагаемому суммы:

$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) $

Это "телескопическая сумма", в которой все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (например, $ -\frac{1}{2} $ и $ +\frac{1}{2} $, $ -\frac{1}{3} $ и $ +\frac{1}{3} $ и так далее). Остаются только первое и последнее слагаемые:

$ \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1} $

Ответ: $ \frac{n}{n+1} $.

2) б)

Аналогично применим тождество к каждому слагаемому суммы, где роль $n$ последовательно играют выражения $x, x+1, x+2, \dots, x+99$.

$ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \dots + \frac{1}{(x+99)(x+100)} = $

$ = (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) + \dots + (\frac{1}{x+99} - \frac{1}{x+100}) $

Это также телескопическая сумма. Все промежуточные члены сокращаются. Остаются только первый и последний член:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+100} = \frac{x+100 - x}{x(x+100)} = \frac{100}{x(x+100)} $

Ответ: $ \frac{100}{x(x+100)} $.

3)

Упростим выражения путем последовательного сложения дробей.

Для выражения а):

Сумма первых двух слагаемых: $ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $.

Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{8+1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $.

Можно заметить, что сумма первых $k$ слагаемых равна $ \frac{k}{k+1} $. Этот результат совпадает с полученным в пункте 2) а).

Для выражения б):

Сумма первых двух слагаемых: $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2+x}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2x+2}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} $.

Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{2(x+3)+x}{x(x+2)(x+3)} = \frac{2x+6+x}{x(x+2)(x+3)} = \frac{3x+6}{x(x+2)(x+3)} = \frac{3(x+2)}{x(x+2)(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)} $.

Заметна закономерность: сумма первых $m$ слагаемых равна $ \frac{m}{x(x+m)} $. В выражении б) слагаемые имеют вид $ \frac{1}{(x+i)(x+i+1)} $ для $i$ от 0 до 99. Всего слагаемых 100. Таким образом, итоговая сумма (при $m=100$) будет $ \frac{100}{x(x+100)} $, что совпадает с результатом из пункта 2) б).

Ответ: Да, при последовательном сложении дробей получается тот же результат.