Номер 1.76, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.76, страница 28.

Условие.

1.76 Как возвести в степень дробь? Выполните возведение в степень:

а) $(\frac{x^2}{y})^3$;

б) $(\frac{4}{bc^3})^2$;

В) $(\frac{a^2b}{cd^2})^4$;

Г) $(\frac{mn}{10p^3})^3$;

Д) $(-\frac{2a^2}{b})^2$;

е) $(-\frac{x^4}{2y})^3$;

Ж) $(-\frac{ax^3}{y^2})^2$;

З) $(-\frac{2}{m^2n})^5$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Это правило можно записать в виде формулы: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, где $b \neq 0$.

При выполнении заданий также используются следующие свойства степеней:

• Возведение произведения в степень: $(ab)^n = a^n b^n$.
• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$.
• При возведении отрицательного основания в четную степень результат будет положительным.
• При возведении отрицательного основания в нечетную степень результат будет отрицательным.

а) Для выражения $(\frac{x^2}{y})^3$ возводим числитель и знаменатель в 3-ю степень:

$(\frac{x^2}{y})^3 = \frac{(x^2)^3}{y^3} = \frac{x^{2 \cdot 3}}{y^3} = \frac{x^6}{y^3}$.

Ответ: $\frac{x^6}{y^3}$

б) Для выражения $(\frac{4}{bc^3})^2$ возводим числитель и знаменатель во 2-ю степень:

$(\frac{4}{bc^3})^2 = \frac{4^2}{(bc^3)^2} = \frac{16}{b^2(c^3)^2} = \frac{16}{b^2c^{3 \cdot 2}} = \frac{16}{b^2c^6}$.

Ответ: $\frac{16}{b^2c^6}$

в) Для выражения $(\frac{a^2b}{cd^2})^4$ возводим числитель и знаменатель в 4-ю степень:

$(\frac{a^2b}{cd^2})^4 = \frac{(a^2b)^4}{(cd^2)^4} = \frac{(a^2)^4b^4}{c^4(d^2)^4} = \frac{a^{2 \cdot 4}b^4}{c^4d^{2 \cdot 4}} = \frac{a^8b^4}{c^4d^8}$.

Ответ: $\frac{a^8b^4}{c^4d^8}$

г) Для выражения $(\frac{mn}{10p^3})^3$ возводим числитель и знаменатель в 3-ю степень:

$(\frac{mn}{10p^3})^3 = \frac{(mn)^3}{(10p^3)^3} = \frac{m^3n^3}{10^3(p^3)^3} = \frac{m^3n^3}{1000p^{3 \cdot 3}} = \frac{m^3n^3}{1000p^9}$.

Ответ: $\frac{m^3n^3}{1000p^9}$

д) В выражении $(-\frac{2a^2}{b})^2$ показатель степени четный (2), поэтому результат будет положительным:

$(-\frac{2a^2}{b})^2 = (\frac{2a^2}{b})^2 = \frac{(2a^2)^2}{b^2} = \frac{2^2(a^2)^2}{b^2} = \frac{4a^{2 \cdot 2}}{b^2} = \frac{4a^4}{b^2}$.

Ответ: $\frac{4a^4}{b^2}$

е) В выражении $(-\frac{x^4}{2y})^3$ показатель степени нечетный (3), поэтому результат будет отрицательным:

$(-\frac{x^4}{2y})^3 = -(\frac{x^4}{2y})^3 = -\frac{(x^4)^3}{(2y)^3} = -\frac{x^{4 \cdot 3}}{2^3y^3} = -\frac{x^{12}}{8y^3}$.

Ответ: $-\frac{x^{12}}{8y^3}$

ж) В выражении $(-\frac{ax^3}{y^2})^2$ показатель степени четный (2), поэтому результат будет положительным:

$(-\frac{ax^3}{y^2})^2 = (\frac{ax^3}{y^2})^2 = \frac{(ax^3)^2}{(y^2)^2} = \frac{a^2(x^3)^2}{y^{2 \cdot 2}} = \frac{a^2x^{3 \cdot 2}}{y^4} = \frac{a^2x^6}{y^4}$.

Ответ: $\frac{a^2x^6}{y^4}$

з) В выражении $(-\frac{2}{m^2n})^5$ показатель степени нечетный (5), поэтому результат будет отрицательным:

$(-\frac{2}{m^2n})^5 = -(\frac{2}{m^2n})^5 = -\frac{2^5}{(m^2n)^5} = -\frac{32}{(m^2)^5n^5} = -\frac{32}{m^{2 \cdot 5}n^5} = -\frac{32}{m^{10}n^5}$.

Ответ: $-\frac{32}{m^{10}n^5}$