Номер 1.79, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.79, страница 28.

Условие.

1.79 Выполните действия:

a) $\frac{ac - cd}{ad} \cdot \frac{cd}{a^2 - ad}$;

б) $\frac{x^2 - 2x}{y^2} \cdot \frac{x^2y - 2xy}{4}$;

В) $\frac{x^2 - y^2}{x^2} \cdot \frac{3x + 3y}{x}$;

Г) $\frac{xy + x^2}{8y} \cdot \frac{2x}{xy + y^2}$;

Д) $\frac{b}{c^2 - bc} : \frac{b^3}{c^2 - b^2}$;

е) $\frac{m^2 - n^2}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{3m - 3n}$;

Ж) $\frac{a^2b}{a^2 - 2ab + b^2} : \frac{a}{ab - b^2}$;

З) $\frac{p^2 + 2pq + q^2}{2p} \cdot \frac{2p}{p^2 - q^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы выполнить умножение дробей, сначала разложим числители и знаменатели на множители.
$ac-cd = c(a-d)$
$a^2-ad = a(a-d)$
Теперь подставим разложенные выражения в исходное и выполним сокращение:
$\frac{ac-cd}{ad} \cdot \frac{cd}{a^2-ad} = \frac{c(a-d)}{ad} \cdot \frac{cd}{a(a-d)} = \frac{c \cdot \cancel{(a-d)} \cdot c \cdot \cancel{d}}{a \cdot \cancel{d} \cdot a \cdot \cancel{(a-d)}} = \frac{c^2}{a^2}$.
Ответ: $\frac{c^2}{a^2}$.

б) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$\frac{x^2 - 2x}{y^2} : \frac{x^2y - 2xy}{4} = \frac{x^2 - 2x}{y^2} \cdot \frac{4}{x^2y - 2xy}$.
Разложим числитель первой дроби и знаменатель второй на множители:
$x^2 - 2x = x(x - 2)$
$x^2y - 2xy = xy(x - 2)$
Подставим и сократим общие множители:
$\frac{x(x - 2)}{y^2} \cdot \frac{4}{xy(x - 2)} = \frac{\cancel{x}\cancel{(x-2)}}{y^2} \cdot \frac{4}{\cancel{x}y\cancel{(x-2)}} = \frac{4}{y^3}$.
Ответ: $\frac{4}{y^3}$.

в) Заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим выражения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$\frac{x^2 - y^2}{x^2} : \frac{3x + 3y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{x^2} \cdot \frac{x}{3x + 3y} = \frac{(x-y)(x+y)}{x^2} \cdot \frac{x}{3(x+y)}$.
Сократим общие множители $(x+y)$ и $x$:
$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}}{3\cancel{(x+y)}} = \frac{x-y}{3x}$.
Ответ: $\frac{x-y}{3x}$.

г) Для выполнения умножения разложим числители и знаменатели на множители и сократим.
$xy + x^2 = x(y+x)$
$xy + y^2 = y(x+y)$
$\frac{xy + x^2}{8y} \cdot \frac{2x}{xy + y^2} = \frac{x(x+y)}{8y} \cdot \frac{2x}{y(x+y)} = \frac{x\cancel{(x+y)}}{\cancel{8}_4 y} \cdot \frac{\cancel{2}x}{y\cancel{(x+y)}} = \frac{x^2}{4y^2}$.
Ответ: $\frac{x^2}{4y^2}$.

д) Заменим деление умножением на обратную дробь. Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов.
$\frac{b}{c^2 - bc} : \frac{b^3}{c^2 - b^2} = \frac{b}{c(c - b)} \cdot \frac{(c-b)(c+b)}{b^3}$.
Сократим общие множители $(c-b)$ и $b$:
$\frac{\cancel{b}}{c\cancel{(c-b)}} \cdot \frac{\cancel{(c-b)}(c+b)}{b^{\cancel{3}}_2} = \frac{c+b}{cb^2}$.
Ответ: $\frac{c+b}{cb^2}$.

е) Разложим числитель первой дроби и знаменатель второй на множители и выполним умножение.
$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$
$3m - 3n = 3(m-n)$
$\frac{m^2 - n^2}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{3m - 3n} = \frac{(m-n)(m+n)}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{3(m-n)}$.
Сократим общие множители $(m-n)$ и $2mn$:
$\frac{\cancel{(m-n)}(m+n)}{\cancel{2mn} \cdot n} \cdot \frac{\cancel{2mn}}{3\cancel{(m-n)}} = \frac{m+n}{3n}$.
Ответ: $\frac{m+n}{3n}$.

ж) Заменим деление умножением. Разложим знаменатель первой дроби по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и числитель второй дроби вынесением общего множителя.
$\frac{a^2b}{a^2 - 2ab + b^2} : \frac{a}{ab - b^2} = \frac{a^2b}{(a-b)^2} \cdot \frac{b(a-b)}{a}$.
Сократим общие множители $(a-b)$ и $a$:
$\frac{a^{\cancel{2}}b}{(a-b)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{b\cancel{(a-b)}}{\cancel{a}} = \frac{ab \cdot b}{a-b} = \frac{ab^2}{a-b}$.
Ответ: $\frac{ab^2}{a-b}$.

з) Разложим числитель первой дроби по формуле квадрата суммы $(p+q)^2 = p^2+2pq+q^2$ и знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов.
$\frac{p^2 + 2pq + q^2}{2p} \cdot \frac{2p}{p^2 - q^2} = \frac{(p+q)^2}{2p} \cdot \frac{2p}{(p-q)(p+q)}$.
Сократим общие множители $2p$ и $(p+q)$:
$\frac{(p+q)^{\cancel{2}}}{\cancel{2p}} \cdot \frac{\cancel{2p}}{(p-q)\cancel{(p+q)}} = \frac{p+q}{p-q}$.
Ответ: $\frac{p+q}{p-q}$.