Номер 1.77, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.77, страница 28.

Условие.

1.77 Выполните умножение:

а) $\frac{y}{x} \cdot \frac{x^2 - xy}{y^2}$;

б) $\frac{b^2}{2a} \cdot \frac{6a}{ab - b^2}$;

В) $\frac{x}{5x + 5y} \cdot \frac{x + y}{y}$;

Г) $\frac{a^2 - ab}{b} \cdot \frac{a}{a - b}$;

Д) $\frac{a + 1}{a} \cdot \frac{b}{a^2 + a}$;

е) $\frac{ac - cd}{ad} \cdot \frac{d}{c^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное выражение: $\frac{y}{x} \cdot \frac{x^2 - xy}{y^2}$.
Чтобы выполнить умножение, сначала упростим дроби, разложив числитель второй дроби на множители. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - xy = x(x-y)$.
Подставим разложенное выражение обратно в произведение:
$\frac{y}{x} \cdot \frac{x(x-y)}{y^2}$
Теперь перемножим числители и знаменатели. Затем сократим общие множители. Для удобства представим $y^2$ как $y \cdot y$:
$\frac{y \cdot x \cdot (x-y)}{x \cdot y \cdot y} = \frac{\cancel{y} \cdot \cancel{x} \cdot (x-y)}{\cancel{x} \cdot \cancel{y} \cdot y} = \frac{x-y}{y}$
Ответ: $\frac{x-y}{y}$

б) Исходное выражение: $\frac{b^2}{2a} \cdot \frac{6a}{ab - b^2}$.
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $b$ за скобки: $ab - b^2 = b(a-b)$.
Получаем:
$\frac{b^2}{2a} \cdot \frac{6a}{b(a-b)}$
Выполним умножение и сократим общие множители. Разложим $6$ на $3 \cdot 2$ и $b^2$ на $b \cdot b$ для наглядности сокращения:
$\frac{b \cdot b \cdot 3 \cdot 2 \cdot a}{2a \cdot b \cdot (a-b)} = \frac{\cancel{b} \cdot b \cdot 3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{a}}{\cancel{2}\cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot (a-b)} = \frac{3b}{a-b}$
Ответ: $\frac{3b}{a-b}$

в) Исходное выражение: $\frac{x}{5x + 5y} \cdot \frac{x+y}{y}$.
В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $5$ за скобки: $5x + 5y = 5(x+y)$.
Получаем:
$\frac{x}{5(x+y)} \cdot \frac{x+y}{y}$
Перемножим дроби и сократим общий множитель $(x+y)$:
$\frac{x \cdot (x+y)}{5(x+y) \cdot y} = \frac{x \cdot \cancel{(x+y)}}{5 \cdot \cancel{(x+y)} \cdot y} = \frac{x}{5y}$
Ответ: $\frac{x}{5y}$

г) Исходное выражение: $\frac{a^2 - ab}{b} \cdot \frac{a}{a-b}$.
В числителе первой дроби вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 - ab = a(a-b)$.
Получаем:
$\frac{a(a-b)}{b} \cdot \frac{a}{a-b}$
Перемножим дроби и сократим общий множитель $(a-b)$:
$\frac{a(a-b) \cdot a}{b \cdot (a-b)} = \frac{a \cdot a \cdot \cancel{(a-b)}}{b \cdot \cancel{(a-b)}} = \frac{a^2}{b}$
Ответ: $\frac{a^2}{b}$

д) Исходное выражение: $\frac{a+1}{a} \cdot \frac{b}{a^2+a}$.
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 + a = a(a+1)$.
Получаем:
$\frac{a+1}{a} \cdot \frac{b}{a(a+1)}$
Перемножим дроби и сократим общий множитель $(a+1)$. В знаменателе $a \cdot a = a^2$:
$\frac{(a+1) \cdot b}{a \cdot a(a+1)} = \frac{b \cdot \cancel{(a+1)}}{a^2 \cdot \cancel{(a+1)}} = \frac{b}{a^2}$
Ответ: $\frac{b}{a^2}$

е) Исходное выражение: $\frac{ac-cd}{ad} \cdot \frac{d}{c^2}$.
В числителе первой дроби вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac - cd = c(a-d)$.
Получаем:
$\frac{c(a-d)}{ad} \cdot \frac{d}{c^2}$
Перемножим дроби и сократим общие множители. Для удобства представим $c^2$ как $c \cdot c$:
$\frac{c \cdot (a-d) \cdot d}{a \cdot d \cdot c \cdot c} = \frac{\cancel{c} \cdot (a-d) \cdot \cancel{d}}{a \cdot \cancel{d} \cdot \cancel{c} \cdot c} = \frac{a-d}{ac}$
Ответ: $\frac{a-d}{ac}$