Номер 1.84, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.84, страница 29.

Условие.

1.84 a) $\frac{x-y}{x} \cdot (x+y);$

б) $(2a+6) \cdot \frac{a-2}{a+3};$

в) $\frac{4a^2}{2a-b} \cdot (2a-b);$

г) $(2m-3) \cdot \frac{m-1}{2m-3};$

д) $\frac{n^2-4}{3} : (n-2)^2;$

e) $(x-z) : \frac{x^2-2xz+z^2}{x^2-z^2};$

ж) $\frac{p^2+4p+4}{p-2} : (p^2-4);$

з) $\frac{b}{a^2-ab} : (ab-b^2).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы умножить дробь на выражение, представим это выражение в виде дроби со знаменателем 1 и выполним умножение дробей.

$ \frac{x-y}{x} \cdot (x+y) = \frac{x-y}{x} \cdot \frac{x+y}{1} = \frac{(x-y)(x+y)}{x} $

В числителе используем формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{(x-y)(x+y)}{x} = \frac{x^2-y^2}{x} $

Ответ: $ \frac{x^2-y^2}{x} $

б) Представим выражение $ (2a+6) $ в виде дроби и выполним умножение. Затем разложим на множители числитель и сократим дробь.

$ (2a+6) \cdot \frac{a-2}{a+3} = \frac{2a+6}{1} \cdot \frac{a-2}{a+3} = \frac{(2a+6)(a-2)}{a+3} $

Вынесем общий множитель 2 за скобки в выражении $ (2a+6) $:

$ \frac{2(a+3)(a-2)}{a+3} $

Сократим на общий множитель $ (a+3) $:

$ 2(a-2) = 2a - 4 $

Ответ: $ 2a - 4 $

в) Представим выражение $ (2a-b) $ в виде дроби и выполним умножение. Сократим полученную дробь.

$ \frac{4a^2}{2a-b} \cdot (2a-b) = \frac{4a^2}{2a-b} \cdot \frac{2a-b}{1} = \frac{4a^2(2a-b)}{2a-b} $

Сократим на общий множитель $ (2a-b) $:

$ 4a^2 $

Ответ: $ 4a^2 $

г) Представим выражение $ (2m-3) $ в виде дроби и выполним умножение, а затем сокращение.

$ (2m-3) \cdot \frac{m-1}{2m-3} = \frac{2m-3}{1} \cdot \frac{m-1}{2m-3} = \frac{(2m-3)(m-1)}{2m-3} $

Сократим на общий множитель $ (2m-3) $:

$ m-1 $

Ответ: $ m-1 $

д) Чтобы разделить дробь на выражение, нужно представить это выражение в виде дроби, а затем умножить первую дробь на дробь, обратную второй (перевернутую).

$ \frac{n^2-4}{3} : (n-2)^2 = \frac{n^2-4}{3} : \frac{(n-2)^2}{1} = \frac{n^2-4}{3} \cdot \frac{1}{(n-2)^2} $

Разложим числитель $ n^2-4 $ по формуле разности квадратов:

$ \frac{(n-2)(n+2)}{3} \cdot \frac{1}{(n-2)^2} = \frac{(n-2)(n+2)}{3(n-2)^2} $

Сократим на общий множитель $ (n-2) $:

$ \frac{n+2}{3(n-2)} $

Ответ: $ \frac{n+2}{3(n-2)} $

е) Для выполнения деления, заменим его на умножение на обратную дробь. Затем разложим числитель и знаменатель на множители и сократим.

$ (x-z) : \frac{x^2-2xz+z^2}{x^2-z^2} = \frac{x-z}{1} \cdot \frac{x^2-z^2}{x^2-2xz+z^2} $

Числитель $ x^2-z^2 $ — разность квадратов: $ (x-z)(x+z) $.

Знаменатель $ x^2-2xz+z^2 $ — квадрат разности: $ (x-z)^2 $.

$ \frac{x-z}{1} \cdot \frac{(x-z)(x+z)}{(x-z)^2} = \frac{(x-z)(x-z)(x+z)}{(x-z)^2} = \frac{(x-z)^2(x+z)}{(x-z)^2} $

Сократим на $ (x-z)^2 $:

$ x+z $

Ответ: $ x+z $

ж) Заменим деление на умножение на обратное выражение и разложим многочлены на множители.

$ \frac{p^2+4p+4}{p-2} : (p^2-4) = \frac{p^2+4p+4}{p-2} \cdot \frac{1}{p^2-4} $

Числитель $ p^2+4p+4 $ — квадрат суммы: $ (p+2)^2 $.

Выражение $ p^2-4 $ — разность квадратов: $ (p-2)(p+2) $.

$ \frac{(p+2)^2}{p-2} \cdot \frac{1}{(p-2)(p+2)} = \frac{(p+2)^2}{(p-2)(p-2)(p+2)} = \frac{(p+2)^2}{(p-2)^2(p+2)} $

Сократим на общий множитель $ (p+2) $:

$ \frac{p+2}{(p-2)^2} $

Ответ: $ \frac{p+2}{(p-2)^2} $

з) Выполним деление, представив его как умножение на обратную дробь. Вынесем общие множители в знаменателях.

$ \frac{b}{a^2-ab} : (ab-b^2) = \frac{b}{a^2-ab} \cdot \frac{1}{ab-b^2} $

В знаменателе первой дроби вынесем $a$: $ a^2-ab = a(a-b) $.

В знаменателе второй дроби вынесем $b$: $ ab-b^2 = b(a-b) $.

$ \frac{b}{a(a-b)} \cdot \frac{1}{b(a-b)} = \frac{b}{a \cdot b \cdot (a-b)(a-b)} = \frac{b}{ab(a-b)^2} $

Сократим на $b$:

$ \frac{1}{a(a-b)^2} $

Ответ: $ \frac{1}{a(a-b)^2} $