Номер 1.87, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.87, страница 29.

Условие.

1.87 а) $\frac{(c-d)^2}{cd^2+d^3} : \frac{d^2-c^2}{d^4}$;

б) $\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \cdot \frac{(b-a)^3}{3(a+b)^3}$;

в) $\frac{2z-2y}{(2z+2y)^2} \cdot \frac{(2y+2z)^3}{(2y-2z)^3}$;

г) $\frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} : \frac{(4-2x)^3}{(3-3x)^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$ \frac{(c-d)^2}{cd^2+d^3} : \frac{d^2-c^2}{d^4} = \frac{(c-d)^2}{cd^2+d^3} \cdot \frac{d^4}{d^2-c^2} $
Разложим на множители знаменатель первой дроби и знаменатель второй дроби. В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $d^2$ за скобки. Знаменатель второй дроби является разностью квадратов.
$ cd^2+d^3 = d^2(c+d) $
$ d^2-c^2 = (d-c)(d+c) $
Также заметим, что $ (c-d)^2 = (-(d-c))^2 = (d-c)^2 $. Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(d-c)^2}{d^2(c+d)} \cdot \frac{d^4}{(d-c)(d+c)} $
Теперь сократим общие множители. Сокращаем $d^2$ в знаменателе первой дроби и $d^4$ в числителе второй, в числителе остается $d^2$. Сокращаем $(d-c)^2$ в числителе первой дроби и $(d-c)$ в знаменателе второй, в числителе остается $(d-c)$.
$ \frac{d-c}{c+d} \cdot \frac{d^2}{d+c} = \frac{d^2(d-c)}{(c+d)^2} $
Ответ: $ \frac{d^2(d-c)}{(c+d)^2} $

б) Упростим выражение $ \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \cdot \frac{(b-a)^3}{3(a+b)^3} $.
Заметим, что $ (b-a) = -(a-b) $. Поэтому $ (b-a)^3 = (-(a-b))^3 = -(a-b)^3 $.
Перепишем выражение с учетом этого:
$ \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \cdot \frac{-(a-b)^3}{3(a+b)^3} $
Сократим общие множители. Сокращаем $(a+b)^2$ и $(a+b)^3$, в знаменателе остается $3(a+b)$. Сокращаем $(a-b)^2$ и $(a-b)^3$, в числителе остается $-(a-b)$.
$ \frac{1}{1} \cdot \frac{-(a-b)}{3(a+b)} = -\frac{a-b}{3(a+b)} $
Внесем знак минуса в числитель, чтобы избавиться от него перед дробью:
$ \frac{-(a-b)}{3(a+b)} = \frac{b-a}{3(a+b)} $
Ответ: $ \frac{b-a}{3(a+b)} $

в) Упростим выражение $ \frac{2z-2y}{(2z+2y)^2} \cdot \frac{(2y+2z)^3}{(2y-2z)^3} $.
Сначала вынесем общие множители в каждом из выражений:
$ 2z-2y = 2(z-y) $
$ (2z+2y)^2 = (2(z+y))^2 = 4(z+y)^2 $
$ (2y+2z)^3 = (2(y+z))^3 = 8(y+z)^3 = 8(z+y)^3 $
$ (2y-2z)^3 = (2(y-z))^3 = 8(y-z)^3 = 8(-(z-y))^3 = -8(z-y)^3 $
Подставим преобразованные выражения в исходное:
$ \frac{2(z-y)}{4(z+y)^2} \cdot \frac{8(z+y)^3}{-8(z-y)^3} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{2 \cdot 8}{4 \cdot (-8)} = \frac{16}{-32} = -\frac{1}{2} $.
Сократим переменные части: $ \frac{(z-y)(z+y)^3}{(z+y)^2(z-y)^3} = \frac{z+y}{(z-y)^2} $.
Объединим результаты:
$ -\frac{1}{2} \cdot \frac{z+y}{(z-y)^2} = -\frac{z+y}{2(z-y)^2} $
Ответ: $ -\frac{z+y}{2(z-y)^2} $

г) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$ \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} : \frac{(4-2x)^3}{(3-3x)^2} = \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{(3-3x)^2}{(4-2x)^3} $
Вынесем общие множители из скобок во второй дроби:
$ (3-3x)^2 = (3(1-x))^2 = 9(1-x)^2 $
$ (4-2x)^3 = (2(2-x))^3 = 8(2-x)^3 $
Подставим в выражение:
$ \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{9(1-x)^2}{8(2-x)^3} $
Используем свойства: $ (1-x)^2 = (-(x-1))^2 = (x-1)^2 $ и $ (2-x)^3 = (-(x-2))^3 = -(x-2)^3 $.
$ \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{9(x-1)^2}{-8(x-2)^3} $
Сократим общие множители. $ (x-1)^2 $ в числителе и знаменателе сокращаются. $ (x-2)^2 $ в числителе и $ (x-2)^3 $ в знаменателе сокращаются, в знаменателе остается $ (x-2) $.
$ \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{-8(x-2)} = -\frac{9}{8(x-2)} $
Внесем знак минус в знаменатель:
$ \frac{9}{-8(x-2)} = \frac{9}{8(-(x-2))} = \frac{9}{8(2-x)} $
Ответ: $ \frac{9}{8(2-x)} $