Номер 2, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Вопросы к параграфу. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 31.

Условие.

В результате преобразования выражения в примере 3 получен двучлен $c^2 + 4$. Объясните, почему этот двучлен при любых значениях $c$ положителен.

Решение 4.

Чтобы объяснить, почему двучлен $c^2 + 4$ положителен при любых значениях $c$, проанализируем каждое его слагаемое.

1. Первое слагаемое: $c^2$.
Это выражение представляет собой квадрат переменной $c$. Любое действительное число, возведенное в квадрат, всегда является неотрицательным.

• Если $c$ — положительное число (например, $c=5$), то $c^2$ будет положительным ($5^2 = 25 > 0$).
• Если $c$ — отрицательное число (например, $c=-5$), то $c^2$ все равно будет положительным ($(-5)^2 = 25 > 0$).
• Если $c$ равно нулю, то $c^2$ будет равно нулю ($0^2 = 0$).

Таким образом, для любого возможного значения $c$ слагаемое $c^2$ всегда будет больше или равно нулю. Математически это записывается как неравенство: $c^2 \ge 0$.

2. Второе слагаемое: $4$.
Это число является константой и, очевидно, положительно: $4 > 0$.

Вывод:
Выражение $c^2 + 4$ является суммой неотрицательного числа ($c^2$) и строго положительного числа ($4$).

Рассмотрим наименьшее возможное значение выражения. Наименьшее значение слагаемого $c^2$ равно $0$ (это происходит, когда $c=0$). В этом случае значение всего двучлена будет: $0 + 4 = 4$

Во всех остальных случаях, когда $c \ne 0$, слагаемое $c^2$ будет строго больше нуля ($c^2 > 0$), и, соответственно, сумма $c^2 + 4$ будет строго больше $4$.

Поскольку наименьшее возможное значение выражения $c^2 + 4$ равно $4$, а $4$ — это положительное число, то данный двучлен всегда будет положителен при любых значениях $c$.

Ответ: Двучлен $c^2 + 4$ положителен при любых значениях $c$, так как он является суммой неотрицательного выражения $c^2$ (квадрат любого числа не может быть отрицательным, $c^2 \ge 0$) и положительного числа $4$. Его наименьшее значение достигается при $c=0$ и равно $4$, что больше нуля.