Номер 1.93, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.93, страница 32.

Условие.

1.93 а) $ \frac{a}{1-b} + \frac{a^2-ab}{b^2-1} \cdot \frac{b+1}{a} $

б) $ \frac{m^2-9}{m} : \frac{(m-3)^2}{m} + \frac{6}{3-m} $

в) $ n - \frac{n^2-na}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a} $

г) $ \frac{v+3}{1-v} + \frac{v+3}{v-1} \cdot (v+1) $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{a}{1-b} + \frac{a^2-ab}{b^2-1} \cdot \frac{b+1}{a}$

Решим по действиям. Сначала выполним умножение дробей.

1. Упростим второе слагаемое: $\frac{a^2-ab}{b^2-1} \cdot \frac{b+1}{a}$.

Разложим числитель первой дроби и ее знаменатель на множители: $a^2-ab = a(a-b)$ и $b^2-1 = (b-1)(b+1)$.

Подставим разложенные выражения в произведение:

$\frac{a(a-b)}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{b+1}{a}$

Сократим общие множители $a$ и $(b+1)$:

$\frac{\cancel{a}(a-b)}{(b-1)\cancel{(b+1)}} \cdot \frac{\cancel{b+1}}{\cancel{a}} = \frac{a-b}{b-1}$

2. Теперь выполним сложение:

$\frac{a}{1-b} + \frac{a-b}{b-1}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $1-b = -(b-1)$. Поэтому первую дробь можно записать так:

$\frac{a}{1-b} = \frac{a}{-(b-1)} = -\frac{a}{b-1}$

Теперь выражение имеет вид:

$-\frac{a}{b-1} + \frac{a-b}{b-1} = \frac{-a + (a-b)}{b-1} = \frac{-a+a-b}{b-1} = \frac{-b}{b-1}$

Ответ: $\frac{-b}{b-1}$.

б) $\frac{m^2-9}{m} : \frac{(m-3)^2}{m} + \frac{6}{3-m}$

Сначала выполним деление в соответствии с порядком действий.

1. $\frac{m^2-9}{m} : \frac{(m-3)^2}{m}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{m^2-9}{m} \cdot \frac{m}{(m-3)^2}$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $m^2-9 = (m-3)(m+3)$.

$\frac{(m-3)(m+3)}{m} \cdot \frac{m}{(m-3)^2}$

Сократим общие множители $m$ и $(m-3)$:

$\frac{\cancel{(m-3)}(m+3)}{\cancel{m}} \cdot \frac{\cancel{m}}{(m-3)^{\cancel{2}}} = \frac{m+3}{m-3}$

2. Теперь выполним сложение с оставшейся дробью:

$\frac{m+3}{m-3} + \frac{6}{3-m}$

Чтобы привести к общему знаменателю, заметим, что $3-m = -(m-3)$.

$\frac{m+3}{m-3} + \frac{6}{-(m-3)} = \frac{m+3}{m-3} - \frac{6}{m-3}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{m+3-6}{m-3} = \frac{m-3}{m-3} = 1$

Данное равенство верно при условии, что знаменатели не равны нулю, т.е. $m \neq 0$ и $m \neq 3$.

Ответ: $1$.

в) $n - \frac{n^2-na}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a}$

Сначала выполним умножение.

1. $\frac{n^2-na}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a}$

Вынесем общий множитель в числителе первой дроби: $n^2-na = n(n-a)$.

$\frac{n(n-a)}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a}$

Сократим общий множитель $(n-a)$:

$\frac{n\cancel{(n-a)}}{n+a} \cdot \frac{n}{\cancel{n-a}} = \frac{n \cdot n}{n+a} = \frac{n^2}{n+a}$

2. Теперь выполним вычитание:

$n - \frac{n^2}{n+a}$

Приведем $n$ к дроби со знаменателем $(n+a)$:

$n = \frac{n(n+a)}{n+a} = \frac{n^2+na}{n+a}$

Подставим это в выражение:

$\frac{n^2+na}{n+a} - \frac{n^2}{n+a} = \frac{n^2+na-n^2}{n+a} = \frac{na}{n+a}$

Ответ: $\frac{na}{n+a}$.

г) $(\frac{v+3}{1-v} + \frac{v+3}{v-1}) \cdot (v+1)$

Сначала выполним действие в скобках.

1. $\frac{v+3}{1-v} + \frac{v+3}{v-1}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $1-v = -(v-1)$.

$\frac{v+3}{-(v-1)} + \frac{v+3}{v-1} = -\frac{v+3}{v-1} + \frac{v+3}{v-1}$

Сумма двух противоположных выражений равна нулю:

$\frac{-(v+3) + (v+3)}{v-1} = \frac{-v-3+v+3}{v-1} = \frac{0}{v-1} = 0$

Это верно при $v \neq 1$.

2. Теперь умножим результат на $(v+1)$:

$0 \cdot (v+1) = 0$

Ответ: $0$.