Номер 1.91, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.91, страница 32.

Условие.

Упростите выражение (1.91—1.94).

1.91 а) $ \frac{xy}{x-y} \cdot \left(\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}\right); $

б) $ \frac{mn^2}{n^2-m^2} \cdot \left(\frac{2}{m} - \frac{2}{n}\right); $

в) $ \left(a - \frac{6a-4}{a+2}\right) \cdot \frac{a+2}{a^2-2a}; $

г) $ \left(\frac{u}{u-v} - \frac{u}{u+v}\right) \cdot \frac{u^2+uv}{2v}; $

д) $ \left(\frac{c-d}{d} + \frac{2c}{c-d}\right) : \frac{c^2+d^2}{c-d}; $

е) $ \left(\frac{a+b}{a} - \frac{a+b}{b}\right) : \frac{a+b}{a^2b^2}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x^2y^2$:
$\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2y^2} - \frac{y^2}{x^2y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2y^2}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{x^2 - y^2}{x^2y^2} = \frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2}$
Теперь умножим первый множитель на полученное выражение:
$\frac{xy}{x-y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2}$
Сократим общие множители $(x-y)$ и $xy$:
$\frac{\cancel{xy}}{\cancel{x-y}} \cdot \frac{\cancel{(x-y)}(x+y)}{x^{\cancel{2}}y^{\cancel{2}}} = \frac{x+y}{xy}$

Ответ: $\frac{x+y}{xy}$

б)

Упростим выражение в скобках, вынеся общий множитель 2 и приведя дроби к общему знаменателю $mn$:
$\frac{2}{m} - \frac{2}{n} = 2 \cdot (\frac{1}{m} - \frac{1}{n}) = 2 \cdot (\frac{n}{mn} - \frac{m}{mn}) = \frac{2(n-m)}{mn}$
Разложим знаменатель первого множителя по формуле разности квадратов $n^2-m^2 = (n-m)(n+m)$:
$\frac{mn^2}{n^2-m^2} = \frac{mn^2}{(n-m)(n+m)}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{mn^2}{(n-m)(n+m)} \cdot \frac{2(n-m)}{mn}$
Сократим общие множители $(n-m)$ и $mn$:
$\frac{\cancel{mn} \cdot n^2}{\cancel{(n-m)}(n+m)} \cdot \frac{2\cancel{(n-m)}}{\cancel{mn}} = \frac{2n^2}{n+m}$

Ответ: $\frac{2n^2}{n+m}$

в)

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $a+2$:
$a - \frac{6a-4}{a+2} = \frac{a(a+2)}{a+2} - \frac{6a-4}{a+2} = \frac{a^2+2a-(6a-4)}{a+2} = \frac{a^2+2a-6a+4}{a+2} = \frac{a^2-4a+4}{a+2}$
Числитель $a^2-4a+4$ является полным квадратом $(a-2)^2$. Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(a-2)^2}{a+2}$.
Упростим второй множитель, разложив знаменатель на множители: $a^2-2a = a(a-2)$.
Второй множитель: $\frac{a+2}{a(a-2)}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{(a-2)^2}{a+2} \cdot \frac{a+2}{a(a-2)}$
Сократим общие множители $(a+2)$ и $(a-2)$:
$\frac{(a-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{a+2}} \cdot \frac{\cancel{a+2}}{a\cancel{(a-2)}} = \frac{a-2}{a}$

Ответ: $\frac{a-2}{a}$

г)

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $(u-v)(u+v) = u^2-v^2$:
$\frac{u}{u-v} - \frac{u}{u+v} = \frac{u(u+v)}{(u-v)(u+v)} - \frac{u(u-v)}{(u-v)(u+v)} = \frac{u^2+uv-(u^2-uv)}{u^2-v^2} = \frac{u^2+uv-u^2+uv}{u^2-v^2} = \frac{2uv}{u^2-v^2}$
Упростим второй множитель, вынеся общий множитель $u$ в числителе: $u^2+uv = u(u+v)$.
Второй множитель: $\frac{u(u+v)}{2v}$
Теперь выполним умножение. Разложим знаменатель $u^2-v^2$ на множители:
$\frac{2uv}{(u-v)(u+v)} \cdot \frac{u(u+v)}{2v}$
Сократим общие множители $2v$ и $(u+v)$:
$\frac{\cancel{2}u\cancel{v}}{(u-v)\cancel{(u+v)}} \cdot \frac{u\cancel{(u+v)}}{\cancel{2v}} = \frac{u^2}{u-v}$

Ответ: $\frac{u^2}{u-v}$

д)

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $d(c-d)$:
$\frac{c-d}{d} + \frac{2c}{c-d} = \frac{(c-d)(c-d)}{d(c-d)} + \frac{2cd}{d(c-d)} = \frac{(c-d)^2 + 2cd}{d(c-d)}$
Раскроем квадрат разности в числителе: $(c-d)^2 = c^2-2cd+d^2$.
$\frac{c^2-2cd+d^2+2cd}{d(c-d)} = \frac{c^2+d^2}{d(c-d)}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
$\frac{c^2+d^2}{d(c-d)} : \frac{c^2+d^2}{c-d} = \frac{c^2+d^2}{d(c-d)} \cdot \frac{c-d}{c^2+d^2}$
Сократим общие множители $(c^2+d^2)$ и $(c-d)$:
$\frac{\cancel{c^2+d^2}}{d\cancel{(c-d)}} \cdot \frac{\cancel{c-d}}{\cancel{c^2+d^2}} = \frac{1}{d}$

Ответ: $\frac{1}{d}$

е)

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $ab$:
$\frac{a+b}{a} - \frac{a+b}{b} = \frac{b(a+b)}{ab} - \frac{a(a+b)}{ab} = \frac{b(a+b) - a(a+b)}{ab}$
Вынесем общий множитель $(a+b)$ в числителе:
$\frac{(a+b)(b-a)}{ab}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
$\frac{(a+b)(b-a)}{ab} : \frac{a+b}{a^2b^2} = \frac{(a+b)(b-a)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{a+b}$
Сократим общие множители $(a+b)$ и $ab$:
$\frac{\cancel{(a+b)}(b-a)}{\cancel{ab}} \cdot \frac{a^{\cancel{2}}b^{\cancel{2}}}{\cancel{a+b}} = (b-a)ab$

Ответ: $ab(b-a)$