Номер 1.95, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.95, страница 32.

Условие.

1.95 Выполните возведение в квадрат:

а) $(a + \frac{1}{a})^2$;

б) $(n - \frac{1}{n})^2$;

в) $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2$;

г) $(\frac{1}{2x} - x)^2$.

Подсказка. Можно воспользоваться формулами $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Для этого в каждом случае определите, какое выражение надо подставить в формулу вместо $a$ и какое — вместо $b$, и примените формулу.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы возвести в квадрат выражение $(a + \frac{1}{a})^2$, используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном случае, первое слагаемое $x = a$, а второе слагаемое $y = \frac{1}{a}$.
Подставляем эти выражения в формулу:
$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2$.
Упрощаем средний член: $2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} = 2$.
Упрощаем последний член: $(\frac{1}{a})^2 = \frac{1}{a^2}$.
В результате получаем: $a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$.
Ответ: $a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$.

б) Чтобы возвести в квадрат выражение $(n - \frac{1}{n})^2$, используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае, уменьшаемое $x = n$, а вычитаемое $y = \frac{1}{n}$.
Подставляем эти выражения в формулу:
$(n - \frac{1}{n})^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + (\frac{1}{n})^2$.
Упрощаем средний член: $2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} = 2$.
Упрощаем последний член: $(\frac{1}{n})^2 = \frac{1}{n^2}$.
В результате получаем: $n^2 - 2 + \frac{1}{n^2}$.
Ответ: $n^2 - 2 + \frac{1}{n^2}$.

в) Чтобы возвести в квадрат выражение $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2$, используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном случае, первое слагаемое $x = \frac{a}{b}$, а второе слагаемое $y = \frac{b}{a}$.
Подставляем эти выражения в формулу:
$(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2 = (\frac{a}{b})^2 + 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + (\frac{b}{a})^2$.
Упрощаем средний член: $2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 2 \cdot \frac{ab}{ba} = 2$.
Упрощаем остальные члены: $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$ и $(\frac{b}{a})^2 = \frac{b^2}{a^2}$.
В результате получаем: $\frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2}$.
Ответ: $\frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2}$.

г) Чтобы возвести в квадрат выражение $(\frac{1}{2x} - x)^2$, используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае, уменьшаемое $a = \frac{1}{2x}$, а вычитаемое $b = x$.
Подставляем эти выражения в формулу:
$(\frac{1}{2x} - x)^2 = (\frac{1}{2x})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2x} \cdot x + x^2$.
Упрощаем средний член: $2 \cdot \frac{1}{2x} \cdot x = \frac{2x}{2x} = 1$.
Упрощаем первый член: $(\frac{1}{2x})^2 = \frac{1}{4x^2}$.
В результате получаем: $\frac{1}{4x^2} - 1 + x^2$.
Ответ: $\frac{1}{4x^2} - 1 + x^2$.