Номер 1.101, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.101, страница 34.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ (1.101–1.102)

1.101 Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных:

а) $\frac{16b^2 - a^2}{4b} \cdot \left( \frac{a+4b}{a^2 - 4ab} - \frac{a-4b}{a^2 + 4ab} \right);$

б) $\frac{3y}{9y^2 - x^2} : \left( \frac{x-3y}{x^2 + 3xy} + \frac{x+3y}{3xy - x^2} \right).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значений переменных, необходимо его упростить. Исходное выражение:

$\frac{16b^2 - a^2}{4b} \cdot \left( \frac{a+4b}{a^2-4ab} - \frac{a-4b}{a^2+4ab} \right)$

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители:

$a^2 - 4ab = a(a-4b)$

$a^2 + 4ab = a(a+4b)$

Общим знаменателем является выражение $a(a-4b)(a+4b)$.

Выполним вычитание дробей в скобках:

$\frac{a+4b}{a(a-4b)} - \frac{a-4b}{a(a+4b)} = \frac{(a+4b)(a+4b) - (a-4b)(a-4b)}{a(a-4b)(a+4b)} = \frac{(a+4b)^2 - (a-4b)^2}{a(a^2 - 16b^2)}$

Раскроем числитель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a+4b)^2 - (a-4b)^2 = ((a+4b) - (a-4b))((a+4b) + (a-4b)) = (a+4b-a+4b)(a+4b+a-4b) = (8b)(2a) = 16ab$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{16ab}{a(a^2 - 16b^2)} = \frac{16b}{a^2 - 16b^2}$

Теперь умножим первый множитель на полученный результат:

$\frac{16b^2 - a^2}{4b} \cdot \frac{16b}{a^2 - 16b^2}$

Заметим, что $16b^2 - a^2 = -(a^2 - 16b^2)$. Подставим это в выражение:

$\frac{-(a^2 - 16b^2)}{4b} \cdot \frac{16b}{a^2 - 16b^2} = \frac{-1 \cdot (a^2 - 16b^2) \cdot 16b}{4b \cdot (a^2 - 16b^2)}$

Сократим одинаковые множители $(a^2 - 16b^2)$ и $b$:

$\frac{-1 \cdot 16}{4} = -4$

Значение выражения равно -4, то есть является константой и не зависит от значений переменных $a$ и $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: -4.

б) Упростим данное выражение:

$\frac{3y}{9y^2 - x^2} : \left( \frac{x-3y}{x^2+3xy} + \frac{x+3y}{3xy-x^2} \right)$

Начнем с упрощения выражения в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$x^2 + 3xy = x(x+3y)$

$3xy - x^2 = x(3y-x) = -x(x-3y)$

Преобразуем вторую дробь в скобках и приведем их к общему знаменателю $x(x+3y)(x-3y)$:

$\frac{x-3y}{x(x+3y)} + \frac{x+3y}{-x(x-3y)} = \frac{x-3y}{x(x+3y)} - \frac{x+3y}{x(x-3y)} = \frac{(x-3y)^2 - (x+3y)^2}{x(x+3y)(x-3y)}$

Знаменатель можно записать как $x(x^2 - 9y^2)$.

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов:

$(x-3y)^2 - (x+3y)^2 = ((x-3y) - (x+3y))((x-3y) + (x+3y)) = (x-3y-x-3y)(x-3y+x+3y) = (-6y)(2x) = -12xy$

Выражение в скобках равно:

$\frac{-12xy}{x(x^2 - 9y^2)} = \frac{-12y}{x^2 - 9y^2}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{3y}{9y^2 - x^2} : \frac{-12y}{x^2 - 9y^2} = \frac{3y}{9y^2 - x^2} \cdot \frac{x^2 - 9y^2}{-12y}$

Заметим, что $9y^2 - x^2 = -(x^2 - 9y^2)$. Подставим это в выражение:

$\frac{3y}{-(x^2 - 9y^2)} \cdot \frac{x^2 - 9y^2}{-12y} = \frac{3y \cdot (x^2 - 9y^2)}{-(x^2 - 9y^2) \cdot (-12y)} = \frac{3y \cdot (x^2 - 9y^2)}{(x^2 - 9y^2) \cdot 12y}$

Сократим общие множители $(x^2 - 9y^2)$ и $3y$:

$\frac{3y}{12y} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Значение выражения равно $\frac{1}{4}$ и не зависит от значений переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{1}{4}$.