Номер 1.103, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.103, страница 34.

Условие.

1.103 Упростите выражение:

а) $\left(1 - z - \frac{2z}{z - 1}\right) : \left(\frac{1}{z} + z\right) \cdot \left(\frac{1}{z} - \frac{1}{z^3}\right);$

б) $\left(a - 5 + \frac{a^2 + 7}{a + 5}\right) \cdot \left(\frac{a}{a - 3} - \frac{a}{a + 3}\right) : \frac{6a}{25 - a^2};$

в) $\frac{a^3 - b^3}{2a + 2b} \cdot \left(\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b}\right) : \frac{a^2 + ab + b^2}{(a + b)^2};$

г) $\frac{1}{x + y} + \frac{x^2 + y^2 - xy}{y^2 - x^2} \cdot \frac{xy - y^2}{x^3 + y^3} - \frac{1}{(x + y)^2};$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим по действиям.
1. Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю $z-1$:
$1 - z - \frac{2z}{z - 1} = \frac{(1-z)(z-1) - 2z}{z - 1} = \frac{-(z-1)^2 - 2z}{z - 1} = \frac{-(z^2 - 2z + 1) - 2z}{z - 1} = \frac{-z^2 + 2z - 1 - 2z}{z - 1} = \frac{-z^2 - 1}{z - 1} = -\frac{z^2 + 1}{z - 1}$
2. Упростим выражение во второй скобке:
$\frac{1}{z} + z = \frac{1 + z^2}{z}$
3. Упростим выражение в третьей скобке:
$\frac{1}{z} - \frac{1}{z^3} = \frac{z^2 - 1}{z^3} = \frac{(z-1)(z+1)}{z^3}$
4. Объединим все части, заменив деление умножением на обратную дробь:
$-\frac{z^2 + 1}{z - 1} : \frac{1 + z^2}{z} \cdot \frac{(z-1)(z+1)}{z^3} = -\frac{z^2 + 1}{z - 1} \cdot \frac{z}{z^2 + 1} \cdot \frac{(z-1)(z+1)}{z^3}$
5. Сократим общие множители $(z^2+1)$, $(z-1)$ и $z$:
$= -\frac{\cancel{z^2 + 1}}{\cancel{z - 1}} \cdot \frac{\cancel{z}}{\cancel{z^2 + 1}} \cdot \frac{\cancel{(z-1)}(z+1)}{z^{\cancel{3}}z^2} = -\frac{z+1}{z^2}$
Ответ: $-\frac{z+1}{z^2}$

б) Решим по действиям.
1. Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю $a+5$:
$a - 5 + \frac{a^2 + 7}{a + 5} = \frac{(a - 5)(a + 5) + a^2 + 7}{a + 5} = \frac{a^2 - 25 + a^2 + 7}{a + 5} = \frac{2a^2 - 18}{a + 5} = \frac{2(a^2 - 9)}{a + 5}$
2. Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $(a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$:
$\frac{a}{a - 3} - \frac{a}{a + 3} = \frac{a(a + 3) - a(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a^2 + 3a - a^2 + 3a}{a^2 - 9} = \frac{6a}{a^2 - 9}$
3. Выполним умножение полученных выражений:
$\frac{2(a^2 - 9)}{a + 5} \cdot \frac{6a}{a^2 - 9} = \frac{2 \cdot 6a}{a+5} = \frac{12a}{a + 5}$
4. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь и разложив $25-a^2$ на множители:
$\frac{12a}{a + 5} : \frac{6a}{25 - a^2} = \frac{12a}{a + 5} \cdot \frac{25 - a^2}{6a} = \frac{12a}{a + 5} \cdot \frac{(5 - a)(5 + a)}{6a}$
5. Сократим общие множители $6a$ и $(a+5)$:
$= 2(5 - a)$
Ответ: $2(5 - a)$

в) Решим по действиям.
1. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:
$\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b} = \frac{(a + b)^2 + (a - b)^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2(a^2 + b^2)}{(a - b)(a + b)}$
2. Разложим на множители остальные части выражения, используя формулы разности кубов и вынесение общего множителя:
$\frac{a^3 - b^3}{2a + 2b} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{2(a + b)}$
3. Объединим все части, заменив деление умножением на обратную дробь:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{2(a + b)} \cdot \frac{2(a^2 + b^2)}{(a - b)(a + b)} : \frac{a^2 + ab + b^2}{(a + b)^2} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{2(a + b)} \cdot \frac{2(a^2 + b^2)}{(a - b)(a + b)} \cdot \frac{(a + b)^2}{a^2 + ab + b^2}$
4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(a - b)$, $(a^2 + ab + b^2)$, $2$ и $(a+b)^2$.
$\frac{\cancel{(a - b)}\cancel{(a^2 + ab + b^2)}}{\cancel{2}\cancel{(a + b)}} \cdot \frac{\cancel{2}(a^2 + b^2)}{\cancel{(a - b)}\cancel{(a + b)}} \cdot \frac{\cancel{(a + b)^2}}{\cancel{a^2 + ab + b^2}} = a^2+b^2$
Ответ: $a^2 + b^2$

г) Решим по действиям, соблюдая их порядок: сначала умножение, затем сложение и вычитание.
1. Выполним умножение. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители:
- $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) = -(x - y)(x + y)$
- $xy - y^2 = y(x - y)$
- $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$
2. Подставим разложенные выражения в произведение и сократим:
$\frac{x^2 + y^2 - xy}{y^2 - x^2} \cdot \frac{xy - y^2}{x^3 + y^3} = \frac{x^2 - xy + y^2}{-(x - y)(x + y)} \cdot \frac{y(x - y)}{(x + y)(x^2 - xy + y^2)} = \frac{1}{-(x+y)} \cdot \frac{y}{x+y} = -\frac{y}{(x + y)^2}$
3. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$\frac{1}{x + y} + \left(-\frac{y}{(x + y)^2}\right) - \frac{1}{(x + y)^2} = \frac{1}{x + y} - \frac{y}{(x + y)^2} - \frac{1}{(x + y)^2}$
4. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x+y)^2$:
$\frac{1(x+y)}{(x+y)^2} - \frac{y}{(x + y)^2} - \frac{1}{(x + y)^2} = \frac{x + y - y - 1}{(x + y)^2} = \frac{x - 1}{(x + y)^2}$
Ответ: $\frac{x - 1}{(x + y)^2}$