Номер 1.104, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.104, страница 34.

Условие.

1.104 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

a) Дано: $x + \frac{1}{x} = y$. Выразите $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$.

б) Дано: $x - \frac{1}{x} = y$. Выразите $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$.

Образец. Дано: $x + \frac{2}{x} = y$. Выразим $x^2 + \frac{4}{x^2}$ через $y$:

$\left(x + \frac{2}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2}$.

Отсюда $x^2 + \frac{4}{x^2} = \left(x + \frac{2}{x}\right)^2 - 4 = y^2 - 4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$, зная, что $x + \frac{1}{x} = y$, возведем обе части данного равенства в квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$(x + \frac{1}{x})^2 = y^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = y^2$

Упростим полученное выражение:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = y^2$

Теперь выразим искомую сумму $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенеся 2 в правую часть уравнения:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$

Ответ: $y^2 - 2$.

б) Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$, зная, что $x - \frac{1}{x} = y$, поступим аналогично предыдущему пункту: возведем обе части данного равенства в квадрат. В этом случае используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(x - \frac{1}{x})^2 = y^2$

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = y^2$

Упростим полученное выражение:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = y^2$

Теперь выразим искомую сумму $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенеся -2 в правую часть уравнения:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$

Ответ: $y^2 + 2$.