Номер 1.105, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.105, страница 35.

Условие.

1.105 Исследуем

1) Проверьте равенства:

a) $\frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)$;

б) $\frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right)$;

в) $\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)$;

г) $\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right)$.

Составьте ещё несколько таких же равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.

2) Примените доказанное равенство для упрощения выражений:

a) $\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{23 \cdot 25}$;

б) $\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \dots + \frac{1}{(a+98)(a+100)}$.

Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Совпали ли ваши результаты?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Проверим данные равенства:

а) $ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) $

Левая часть: $ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $.
Равенство верно.

б) $ \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) $

Левая часть: $ \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{24} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{12} - \frac{2}{12}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24} $.
Равенство верно.

в) $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) $

Левая часть: $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{15} - \frac{3}{15}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{15} $.
Равенство верно.

г) $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) $

Левая часть: $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{35} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{35} - \frac{5}{35}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{35} = \frac{1}{35} $.
Равенство верно.

Составим еще несколько таких же равенств, следуя замеченной закономерности:

$ \frac{1}{6 \cdot 8} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{6} - \frac{1}{8}) $

$ \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) $

$ \frac{1}{10 \cdot 12} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{10} - \frac{1}{12}) $

Соответствующее буквенное равенство для дроби, в знаменателе которой стоят два множителя, отличающиеся на 2, имеет вид:

$ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) $

Докажем его, преобразовав правую часть:

$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{n+2}{n(n+2)} - \frac{n}{n(n+2)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+2-n}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)} $

Правая часть тождественно равна левой, что и требовалось доказать.

2)

Применим доказанное равенство для упрощения выражений.

а) $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{23 \cdot 25} $

Представим каждое слагаемое в виде разности двух дробей с помощью доказанного равенства:

$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right) + \dots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{23}-\frac{1}{25}\right) $

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:

$ \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right) + \dots + \left(\frac{1}{23}-\frac{1}{25}\right) \right] $

Внутри скобок все промежуточные слагаемые с противоположными знаками (например, $ -\frac{1}{5} $ и $ +\frac{1}{5} $) взаимно уничтожаются. Остаются только первое и последнее слагаемые:

$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{25} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{25-3}{75} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{75} = \frac{11}{75} $

Ответ: $ \frac{11}{75} $.

б) $ \frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \dots + \frac{1}{(a+98)(a+100)} $

Аналогично предыдущему пункту, применим равенство к каждому слагаемому:

$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+4}\right) + \dots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+98}-\frac{1}{a+100}\right) $

Вынесем $ \frac{1}{2} $ за скобки и сократим взаимно уничтожающиеся слагаемые:

$ \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}\right) + \left(\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a+98}-\frac{1}{a+100}\right) \right] $

$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+100} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{a+100-a}{a(a+100)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{a(a+100)} = \frac{50}{a(a+100)} $

Ответ: $ \frac{50}{a(a+100)} $.

Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Совпали ли ваши результаты?

Да, можно упростить выражения, последовательно складывая дроби и находя закономерность.

Для выражения а):

Сумма первых двух слагаемых: $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{15} + \frac{1}{35} = \frac{7+3}{105} = \frac{10}{105} = \frac{2}{21} = \frac{2}{3 \cdot 7} $.
Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{2}{21} + \frac{1}{63} = \frac{6+1}{63} = \frac{7}{63} = \frac{1}{9} = \frac{3}{3 \cdot 9} $.
Закономерность: сумма $k$ первых слагаемых равна $ \frac{k}{n_1 \cdot n_{k+1}} $, где $n_1$ - первый множитель знаменателя, а $n_{k+1}$ - последний. В данной сумме 11 слагаемых (от $3 \cdot 5$ до $23 \cdot 25$). Таким образом, результат: $ \frac{11}{3 \cdot 25} = \frac{11}{75} $.

Для выражения б):

Сумма первых двух слагаемых: $ \frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} = \frac{a+4+a}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2a+4}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2(a+2)}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2}{a(a+4)} $.
Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{a(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)} = \frac{2(a+6)+a}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3a+12}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3(a+4)}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3}{a(a+6)} $.
Закономерность: сумма $k$ первых слагаемых равна $ \frac{k}{a(a+2k)} $. В данной сумме 50 слагаемых (от $a(a+2)$ до $(a+98)(a+100)$, где $98 = 2 \cdot 49$, т.е. всего $49+1=50$ слагаемых). Таким образом, результат: $ \frac{50}{a(a+2 \cdot 50)} = \frac{50}{a(a+100)} $.

Ответ: Да, результаты, полученные обоими способами, совпали.