Номер 1.106, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.106, страница 37.

Условие.

1.106 Замените выражение равным, не содержащим отрицательных показателей:

а) $a^{-3}$;

б) $(5x)^{-2}$;

в) $xy^{-1}$;

г) $3m^2n^{-2}$;

д) $a^{-2} + b^{-2}$;

е) $(u-v)^{-2}$;

ж) $-10yz^{-19}$;

з) $2(a+c)^{-3}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы заменить выражение равным, не содержащим отрицательных показателей, используется свойство степени с целым отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого $a \ne 0$.
Применив это свойство к выражению $a^{-3}$, где $n=3$, получаем:
$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$.
Ответ: $\frac{1}{a^3}$.

б) В выражении $(5x)^{-2}$ основание степени равно $5x$, а показатель равен $-2$.
Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$(5x)^{-2} = \frac{1}{(5x)^2}$.
Далее, раскроем скобки в знаменателе, используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{1}{(5x)^2} = \frac{1}{5^2 \cdot x^2} = \frac{1}{25x^2}$.
Ответ: $\frac{1}{25x^2}$.

в) В выражении $xy^{-1}$ отрицательный показатель $-1$ относится только к переменной $y$.
Применим свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ к $y^{-1}$:
$y^{-1} = \frac{1}{y^1} = \frac{1}{y}$.
Теперь умножим $x$ на полученное выражение:
$xy^{-1} = x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{y}$.
Ответ: $\frac{x}{y}$.

г) В выражении $3m^2n^{-2}$ отрицательный показатель $-2$ относится только к переменной $n$. Множители $3$ и $m^2$ остаются в числителе.
Преобразуем $n^{-2}$:
$n^{-2} = \frac{1}{n^2}$.
Перемножим все части выражения:
$3m^2n^{-2} = 3m^2 \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{3m^2}{n^2}$.
Ответ: $\frac{3m^2}{n^2}$.

д) Выражение $a^{-2} + b^{-2}$ представляет собой сумму двух слагаемых с отрицательными степенями. Преобразуем каждое слагаемое по отдельности:
$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$
$b^{-2} = \frac{1}{b^2}$
Таким образом, выражение принимает вид:
$a^{-2} + b^{-2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.
Чтобы представить результат в виде одной дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $a^2b^2$:
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$.
Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$.

е) В выражении $(u - v)^{-2}$ основанием степени является вся скобка $(u-v)$.
Применяем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где $a = u-v$ и $n=2$:
$(u-v)^{-2} = \frac{1}{(u-v)^2}$.
Ответ: $\frac{1}{(u-v)^2}$.

ж) В выражении $-10yz^{-19}$ отрицательный показатель степени относится только к переменной $z$.
Преобразуем $z^{-19}$:
$z^{-19} = \frac{1}{z^{19}}$.
Теперь объединим все множители:
$-10yz^{-19} = -10 \cdot y \cdot \frac{1}{z^{19}} = -\frac{10y}{z^{19}}$.
Ответ: $-\frac{10y}{z^{19}}$.

з) В выражении $2(a + c)^{-3}$ множитель $2$ умножается на степень $(a+c)^{-3}$. Отрицательный показатель относится к скобке $(a+c)$.
Преобразуем $(a+c)^{-3}$:
$(a+c)^{-3} = \frac{1}{(a+c)^3}$.
Умножим результат на $2$:
$2(a+c)^{-3} = 2 \cdot \frac{1}{(a+c)^3} = \frac{2}{(a+c)^3}$.
Ответ: $\frac{2}{(a+c)^3}$.