Номер 1.108, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.108, страница 37.

Условие.

1.108 Найдите значение выражения:

a) $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$;

б) $\left(\frac{4}{3}\right)^{-2}$;

в) $\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}$;

г) $(-0.3)^{-3}$;

д) $(-1.5)^{-2}$;

е) $\left(-\frac{8}{7}\right)^{0}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этого задания мы будем использовать следующие свойства степеней:

• Свойство степени с целым отрицательным показателем: для любого числа $a \neq 0$ и целого отрицательного числа $-n$ выполняется равенство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
• Для дробей это свойство выглядит так: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, где $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
• Свойство степени с нулевым показателем: для любого числа $a \neq 0$ выполняется равенство $a^0 = 1$.

а)

Используем свойство возведения дроби в отрицательную степень: чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь и возвести ее в степень с положительным показателем.

$(\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 27$.

Ответ: 27

б)

Применяем то же свойство, что и в предыдущем примере. "Переворачиваем" дробь и меняем знак показателя степени на противоположный.

$(\frac{4}{3})^{-2} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.

Ответ: $\frac{9}{16}$

в)

Аналогично предыдущим пунктам, возводим дробь в отрицательную степень.

$(\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.

Ответ: $\frac{4}{25}$

г)

Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,3 = -\frac{3}{10}$. Затем воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем. Так как показатель степени (-3) является нечетным числом, знак "минус" у основания сохранится.

$(-0,3)^{-3} = (-\frac{3}{10})^{-3} = (-\frac{10}{3})^3 = \frac{(-10)^3}{3^3} = \frac{-1000}{27} = -37\frac{1}{27}$.

Ответ: $-\frac{1000}{27}$

д)

Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$. Затем применим свойство степени. Так как показатель степени (-2) является четным числом, результат будет положительным (отрицательное число в четной степени всегда положительно).

$(-1,5)^{-2} = (-\frac{3}{2})^{-2} = (-\frac{2}{3})^2 = \frac{(-2)^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

е)

Согласно свойству степени с нулевым показателем, любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1.

$(-\frac{8}{7})^0 = 1$.

Ответ: 1