Номер 1.109, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.109, страница 37.

Условие.

1.109 Какое выражение равно $2^{-n}$?

1) $-2^n$

2) $\frac{1}{2^{-n}}$

3) $\frac{1}{2^n}$

4) $-\frac{1}{2^n}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, какое из предложенных выражений равно $2^{-n}$, необходимо использовать свойство степени с отрицательным показателем. Это свойство для любого основания $a \ne 0$ и показателя $n$ записывается в виде формулы:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Применив данную формулу к выражению $2^{-n}$, мы получаем:

$2^{-n} = \frac{1}{2^n}$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) $-2^n$

Это выражение не равно $2^{-n}$. Например, если подставить $n=1$, то $2^{-1} = \frac{1}{2}$, а $-2^1 = -2$. Так как $\frac{1}{2} \ne -2$, этот вариант не подходит.

2) $\frac{1}{2^{-n}}$

Используя то же свойство для знаменателя дроби, мы можем преобразовать его: $2^{-n} = \frac{1}{2^n}$. Тогда исходное выражение примет вид: $\frac{1}{2^{-n}} = \frac{1}{\frac{1}{2^n}} = 1 \cdot \frac{2^n}{1} = 2^n$. Так как $2^n \ne 2^{-n}$ (кроме случая $n=0$), этот вариант не подходит.

3) $\frac{1}{2^n}$

Это выражение в точности соответствует тому, что мы получили, применив свойство степени с отрицательным показателем к $2^{-n}$. Следовательно, это правильный ответ.

4) $-\frac{1}{2^n}$

Это выражение является противоположным по знаку выражению $\frac{1}{2^n}$. Поскольку $2^{-n} = \frac{1}{2^n}$, то оно не может быть равно $-\frac{1}{2^n}$ (так как $2^{-n}$ всегда положительно). Этот вариант не подходит.

Ответ: 3