Номер 1.116, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.116, страница 38.

Условие.

1.116 Заполните таблицу. Как при заполнении второй строки можно использовать результаты первой?

$x$ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

$2^x$

$(\frac{1}{2})^x$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо вычислить значения выражений $2^x$ и $(\frac{1}{2})^x$ для каждого значения $x$ из верхней строки.

1. Вычисления для строки $2^x$:

• При $x = -6$: $2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$
• При $x = -5$: $2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$
• При $x = -4$: $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
• При $x = -3$: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
• При $x = -2$: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
• При $x = -1$: $2^{-1} = \frac{1}{2}$
• При $x = 0$: $2^0 = 1$
• При $x = 1$: $2^1 = 2$
• При $x = 2$: $2^2 = 4$
• При $x = 3$: $2^3 = 8$
• При $x = 4$: $2^4 = 16$
• При $x = 5$: $2^5 = 32$
• При $x = 6$: $2^6 = 64$

2. Вычисления для строки $(\frac{1}{2})^x$:

• При $x = -6$: $(\frac{1}{2})^{-6} = (2^{-1})^{-6} = 2^{6} = 64$
• При $x = -5$: $(\frac{1}{2})^{-5} = (2^{-1})^{-5} = 2^{5} = 32$
• При $x = -4$: $(\frac{1}{2})^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^{4} = 16$
• При $x = -3$: $(\frac{1}{2})^{-3} = (2^{-1})^{-3} = 2^{3} = 8$
• При $x = -2$: $(\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{2} = 4$
• При $x = -1$: $(\frac{1}{2})^{-1} = (2^{-1})^{-1} = 2^{1} = 2$
• При $x = 0$: $(\frac{1}{2})^{0} = 1$
• При $x = 1$: $(\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2}$
• При $x = 2$: $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$
• При $x = 3$: $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$
• При $x = 4$: $(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}$
• При $x = 5$: $(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$
• При $x = 6$: $(\frac{1}{2})^{6} = \frac{1}{64}$

Ответ:

$x$	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$2^x$	$\frac{1}{64}$	$\frac{1}{32}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4	8	16	32	64
$(\frac{1}{2})^x$	64	32	16	8	4	2	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$	$\frac{1}{64}$

Как при заполнении второй строки можно использовать результаты первой?

При заполнении второй строки данных (для функции $y=(\frac{1}{2})^x$) можно использовать уже вычисленные результаты для первой строки данных (для функции $y=2^x$), так как эти функции тесно связаны. Существует два способа.

Способ 1. Основан на свойстве степени $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$.
Можно заметить, что $(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$.
Это означает, что значение функции $y=(\frac{1}{2})^x$ для аргумента $x$ равно значению функции $y=2^x$ для аргумента $-x$. Например, $(\frac{1}{2})^5 = 2^{-5} = \frac{1}{32}$. Таким образом, для заполнения второй строки можно взять значения из первой строки и записать их в обратном порядке.

Способ 2. Основан на свойстве степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
Можно заметить, что $(\frac{1}{2})^x = \frac{1^x}{2^x} = \frac{1}{2^x}$.
Это означает, что для любого $x$ значение $(\frac{1}{2})^x$ является обратной величиной к значению $2^x$. Например, при $x=4$ значение $2^4=16$, а $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$. Таким образом, для заполнения второй строки можно каждое число из первой строки заменить на обратное ему.

Ответ: Значения во второй строке (для $(\frac{1}{2})^x$) можно получить из значений в первой строке (для $2^x$) двумя способами:
1. Записать значения из первой строки в обратном порядке, так как $(\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$.
2. Заменить каждое значение из первой строки на обратное ему число, так как $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{2^x}$.