Номер 1.120, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.120, страница 39.

Условие.

1.120 Найдите значение выражения:

а) $\frac{2^{-3} \cdot 3}{4^{-1}}$;

б) $\frac{5^2 \cdot 10^{-2}}{2^{-3}}$;

в) $\frac{8^{-1}}{6^2 \cdot 4^{-3}}$;

г) $\frac{8^{-2} \cdot 9^{-1}}{12^{-2}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{2^{-3} \cdot 3}{4^{-1}}$, воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$. Тогда $4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{2 \cdot (-1)} = 2^{-2}$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{2^{-3} \cdot 3}{2^{-2}}$ Теперь применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $2^{-3 - (-2)} \cdot 3 = 2^{-3+2} \cdot 3 = 2^{-1} \cdot 3$ Так как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, то $2^{-1} = \frac{1}{2}$. Окончательно получаем: $\frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$
Ответ: $\frac{3}{2}$

б) Для вычисления выражения $\frac{5^2 \cdot 10^{-2}}{2^{-3}}$ разложим число 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$. Тогда $10^{-2} = (2 \cdot 5)^{-2} = 2^{-2} \cdot 5^{-2}$. Подставим это в выражение: $\frac{5^2 \cdot (2^{-2} \cdot 5^{-2})}{2^{-3}} = \frac{5^2 \cdot 2^{-2} \cdot 5^{-2}}{2^{-3}}$ Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $(5^2 \cdot 5^{-2}) \cdot \frac{2^{-2}}{2^{-3}}$ Используем свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $5^{2+(-2)} \cdot 2^{-2-(-3)} = 5^{2-2} \cdot 2^{-2+3} = 5^0 \cdot 2^1$ Любое число в нулевой степени равно 1 ($5^0 = 1$), поэтому: $1 \cdot 2 = 2$
Ответ: $2$

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{8^{-1}}{6^2 \cdot 4^{-3}}$, представим все основания в виде степеней простых чисел. $8 = 2^3$, следовательно $8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$. $6 = 2 \cdot 3$, следовательно $6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$. $4 = 2^2$, следовательно $4^{-3} = (2^2)^{-3} = 2^{-6}$. Подставим полученные выражения в исходную дробь: $\frac{2^{-3}}{(2^2 \cdot 3^2) \cdot 2^{-6}}$ В знаменателе сгруппируем степени с основанием 2: $\frac{2^{-3}}{2^2 \cdot 2^{-6} \cdot 3^2} = \frac{2^{-3}}{2^{2-6} \cdot 3^2} = \frac{2^{-3}}{2^{-4} \cdot 3^2}$ Теперь разделим степени с основанием 2: $\frac{2^{-3}}{2^{-4}} \cdot \frac{1}{3^2} = 2^{-3-(-4)} \cdot \frac{1}{9} = 2^{-3+4} \cdot \frac{1}{9} = 2^1 \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

г) Для вычисления выражения $\frac{8^{-2} \cdot 9^{-1}}{12^{-2}}$ представим все основания в виде степеней простых чисел. $8 = 2^3$, следовательно $8^{-2} = (2^3)^{-2} = 2^{-6}$. $9 = 3^2$, следовательно $9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$. $12 = 2^2 \cdot 3$, следовательно $12^{-2} = (2^2 \cdot 3)^{-2} = (2^2)^{-2} \cdot 3^{-2} = 2^{-4} \cdot 3^{-2}$. Подставим эти значения в исходное выражение: $\frac{2^{-6} \cdot 3^{-2}}{2^{-4} \cdot 3^{-2}}$ Разделим степени с одинаковыми основаниями: $\frac{2^{-6}}{2^{-4}} \cdot \frac{3^{-2}}{3^{-2}} = 2^{-6 - (-4)} \cdot 3^{-2 - (-2)} = 2^{-6+4} \cdot 3^{-2+2} = 2^{-2} \cdot 3^0$ Так как $3^0 = 1$ и $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$, то: $\frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$