Номер 1.115, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.115, страница 38.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (1.115–1.116)

1.115 Представьте члены последовательности в виде степеней с одним и тем же натуральным основанием. Запишите три следующих члена последовательности. Какое число будет стоять в этой последовательности на 100-м месте? на месте с номером n?

а) $1/2$; $1/4$; $1/8$; $1/16$; ...

б) 1; $1/2$; $1/4$; $1/8$; ...

в) $1/3$; $1/9$; $1/27$; ...

г) 3; 1; $1/3$; $1/9$; ...

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана последовательность: $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots $.
1. Представление в виде степеней. Заметим, что знаменатели являются степенями натурального числа 2:
$a_1 = \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$
$a_2 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$
$a_3 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}$
$a_4 = \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4}$
Таким образом, все члены последовательности можно представить в виде дроби, где в знаменателе стоит степень с основанием 2.
2. Три следующих члена. Продолжая закономерность, находим следующие три члена, соответствующие степеням 5, 6 и 7:
$a_5 = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$
$a_6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$
$a_7 = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$
3. Член на 100-м месте. Для члена на 100-м месте показатель степени будет равен 100: $a_{100} = \frac{1}{2^{100}}$.
4. Член на месте с номером n. Общая формула для члена последовательности с номером $n$ имеет вид: $a_n = \frac{1}{2^n}$.
Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \frac{1}{128}$. На 100-м месте: $\frac{1}{2^{100}}$. На $n$-м месте: $\frac{1}{2^n}$.

б) Дана последовательность: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots $.
1. Представление в виде степеней. Представим члены последовательности в виде степеней с натуральным основанием 2:
$a_1 = 1 = 2^0 = \frac{1}{2^0}$
$a_2 = \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$
$a_3 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$
$a_4 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}$
Здесь показатель степени в знаменателе для $n$-го члена равен $n-1$.
2. Три следующих члена. Найдем члены для $n=5, 6, 7$:
$a_5 = \frac{1}{2^{5-1}} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
$a_6 = \frac{1}{2^{6-1}} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$
$a_7 = \frac{1}{2^{7-1}} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$
3. Член на 100-м месте. Для члена на 100-м месте показатель степени будет $100-1=99$: $a_{100} = \frac{1}{2^{99}}$.
4. Член на месте с номером n. Общая формула для члена последовательности с номером $n$ имеет вид: $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$.
Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}$. На 100-м месте: $\frac{1}{2^{99}}$. На $n$-м месте: $\frac{1}{2^{n-1}}$.

в) Дана последовательность: $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots $.
1. Представление в виде степеней. Знаменатели являются степенями натурального числа 3:
$a_1 = \frac{1}{3} = \frac{1}{3^1}$
$a_2 = \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2}$
$a_3 = \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3}$
2. Три следующих члена. Продолжая закономерность, получаем:
$a_4 = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$
$a_5 = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$
$a_6 = \frac{1}{3^6} = \frac{1}{729}$
3. Член на 100-м месте. Показатель степени для 100-го члена равен 100: $a_{100} = \frac{1}{3^{100}}$.
4. Член на месте с номером n. Общая формула для члена последовательности: $a_n = \frac{1}{3^n}$.
Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{81}, \frac{1}{243}, \frac{1}{729}$. На 100-м месте: $\frac{1}{3^{100}}$. На $n$-м месте: $\frac{1}{3^n}$.

г) Дана последовательность: $3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \dots$.
1. Представление в виде степеней. Представим члены последовательности в виде степеней с натуральным основанием 3. Используем свойство $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$ и $a^0=1$:
$a_1 = 3 = 3^1$
$a_2 = 1 = 3^0$
$a_3 = \frac{1}{3} = 3^{-1}$
$a_4 = \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
Показатели степени (1, 0, -1, -2, ...) образуют арифметическую прогрессию, где первый член равен 1, а разность равна -1. Показатель для $n$-го члена равен $p_n = 1 + (n-1) \cdot (-1) = 1 - n + 1 = 2-n$.
2. Три следующих члена. Найдем члены для $n=5, 6, 7$:
$a_5 = 3^{2-5} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$
$a_6 = 3^{2-6} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$
$a_7 = 3^{2-7} = 3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$
3. Член на 100-м месте. Для 100-го члена показатель степени будет $2-100=-98$: $a_{100} = 3^{-98} = \frac{1}{3^{98}}$.
4. Член на месте с номером n. Общая формула для члена последовательности: $a_n = 3^{2-n}$.
Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{1}{243}$. На 100-м месте: $\frac{1}{3^{98}}$. На $n$-м месте: $3^{2-n}$.