Номер 1.110, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.110, страница 37.

Условие.

1.110 Сравните с нулём значения выражений $m^{16}$, $m^{-16}$, $m^{23}$ и $m^{-23}$, если: а) $m > 0$; б) $m < 0$. Сделайте вывод.

Подсказка. Проведите числовой эксперимент.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Если $m > 0$, то $m$ — это положительное число. При возведении положительного числа в любую целую степень результат всегда будет положительным числом. Для подтверждения этого проведём числовой эксперимент, как предложено в подсказке, например, при $m = 2$.

• $m^{16} = 2^{16}$. Так как основание степени положительно, результат будет положительным. $m^{16} > 0$.
• $m^{-16} = \frac{1}{m^{16}} = \frac{1}{2^{16}}$. Знаменатель $2^{16}$ является положительным числом, следовательно, и вся дробь будет положительной. $m^{-16} > 0$.
• $m^{23} = 2^{23}$. Так как основание степени положительно, результат будет положительным. $m^{23} > 0$.
• $m^{-23} = \frac{1}{m^{23}} = \frac{1}{2^{23}}$. Знаменатель $2^{23}$ является положительным числом, следовательно, и вся дробь будет положительной. $m^{-23} > 0$.

Ответ: все выражения больше нуля: $m^{16} > 0, m^{-16} > 0, m^{23} > 0, m^{-23} > 0$.

б) Если $m < 0$, то $m$ — это отрицательное число. В этом случае знак результата зависит от чётности или нечётности показателя степени. Проведём числовой эксперимент, например, при $m = -2$.

• $m^{16} = (-2)^{16}$. Показатель степени 16 — чётное число. Возведение отрицательного числа в чётную степень даёт положительный результат. $m^{16} > 0$.
• $m^{-16} = \frac{1}{m^{16}} = \frac{1}{(-2)^{16}}$. Знаменатель $(-2)^{16}$ положителен (так как степень чётная), поэтому вся дробь положительна. $m^{-16} > 0$.
• $m^{23} = (-2)^{23}$. Показатель степени 23 — нечётное число. Возведение отрицательного числа в нечётную степень даёт отрицательный результат. $m^{23} < 0$.
• $m^{-23} = \frac{1}{m^{23}} = \frac{1}{(-2)^{23}}$. Знаменатель $(-2)^{23}$ отрицателен (так как степень нечётная), поэтому вся дробь отрицательна. $m^{-23} < 0$.

Ответ: $m^{16} > 0, m^{-16} > 0, m^{23} < 0, m^{-23} < 0$.

Вывод:

Знак степени $m^k$ (где $k$ — целое число) зависит от знака основания $m$ и чётности показателя $k$.

1. Если основание $m$ положительно ($m>0$), то значение степени $m^k$ всегда положительно при любом целом $k$.

2. Если основание $m$ отрицательно ($m<0$), то знак степени $m^k$ определяется чётностью показателя $k$:

• если $k$ — чётное число (например, 16 или -16), то $m^k > 0$;
• если $k$ — нечётное число (например, 23 или -23), то $m^k < 0$.