Номер 1.111, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.111, страница 37.

Условие.

1.111 Сравните числа $a$ и $a^{-1}$, если:

а) $0 < a < 1$;

б) $a > 1$;

в) $-1 < a < 0$;

г) $a < -1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для сравнения чисел $a$ и $a^{-1}$ в каждом случае удобно рассмотреть знак их разности. Вспомним, что $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Тогда разность равна:

$a - a^{-1} = a - \frac{1}{a} = \frac{a^2 - 1}{a} = \frac{(a-1)(a+1)}{a}$

Если эта разность больше нуля, то $a > a^{-1}$. Если меньше нуля, то $a < a^{-1}$.

а) Если $0 < a < 1$.
В этом случае множители в выражении $\frac{(a-1)(a+1)}{a}$ имеют следующие знаки:
- $(a-1)$ отрицательно, так как $a < 1$.
- $(a+1)$ положительно, так как $a > 0$.
- $a$ (знаменатель) положительно.
Следовательно, знак всей дроби будет $\frac{(-) \cdot (+)}{(+)} = (-)$.
Разность $a - a^{-1}$ отрицательна, значит $a < a^{-1}$.
Пример: если $a=0.5$, то $a^{-1}=2$. $0.5 < 2$.
Ответ: $a < a^{-1}$.

б) Если $a > 1$.
В этом случае множители в выражении $\frac{(a-1)(a+1)}{a}$ имеют следующие знаки:
- $(a-1)$ положительно, так как $a > 1$.
- $(a+1)$ положительно, так как $a > 1$.
- $a$ (знаменатель) положительно.
Следовательно, знак всей дроби будет $\frac{(+) \cdot (+)}{(+)} = (+)$.
Разность $a - a^{-1}$ положительна, значит $a > a^{-1}$.
Пример: если $a=2$, то $a^{-1}=0.5$. $2 > 0.5$.
Ответ: $a > a^{-1}$.

в) Если $-1 < a < 0$.
В этом случае множители в выражении $\frac{(a-1)(a+1)}{a}$ имеют следующие знаки:
- $(a-1)$ отрицательно, так как $a < 0$.
- $(a+1)$ положительно, так как $a > -1$.
- $a$ (знаменатель) отрицательно.
Следовательно, знак всей дроби будет $\frac{(-) \cdot (+)}{(-)} = (+)$.
Разность $a - a^{-1}$ положительна, значит $a > a^{-1}$.
Пример: если $a=-0.5$, то $a^{-1}=-2$. $-0.5 > -2$.
Ответ: $a > a^{-1}$.

г) Если $a < -1$.
В этом случае множители в выражении $\frac{(a-1)(a+1)}{a}$ имеют следующие знаки:
- $(a-1)$ отрицательно, так как $a < -1$.
- $(a+1)$ отрицательно, так как $a < -1$.
- $a$ (знаменатель) отрицательно.
Следовательно, знак всей дроби будет $\frac{(-) \cdot (-)}{(-)} = (-)$.
Разность $a - a^{-1}$ отрицательна, значит $a < a^{-1}$.
Пример: если $a=-2$, то $a^{-1}=-0.5$. $-2 < -0.5$.
Ответ: $a < a^{-1}$.