Номер 1.118, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.118, страница 38.

Условие.

1.118 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $\frac{1}{2^{-3}} = 2^3;$

б) $\frac{1}{a^{-4}} = a^4;$

В) $\frac{a}{b^{-2}} = ab^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для доказательства равенства преобразуем его левую часть, используя определение степени с отрицательным показателем. По определению, для любого числа $x \neq 0$ и целого числа $n$ справедливо равенство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
В нашем случае $x=2$ и $n=3$. Знаменатель дроби в левой части можно записать как:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$.
Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного равенства:
$\frac{1}{2^{-3}} = \frac{1}{\frac{1}{2^3}}$.
Деление единицы на дробь равносильно нахождению обратной дроби, поэтому:
$\frac{1}{\frac{1}{2^3}} = 1 \cdot \frac{2^3}{1} = 2^3$.
Мы получили, что левая часть равна правой. Равенство доказано.
Ответ: $\frac{1}{2^{-3}} = 2^3$.

б) Доказательство проводится аналогично пункту а), используя то же свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при условии, что $a \neq 0$).
Преобразуем левую часть равенства $\frac{1}{a^{-4}}$.
Знаменатель $a^{-4}$ равен $\frac{1}{a^4}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{1}{a^{-4}} = \frac{1}{\frac{1}{a^4}}$.
Упрощая полученное выражение, имеем:
$1 \cdot \frac{a^4}{1} = a^4$.
Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой.
Ответ: $\frac{1}{a^{-4}} = a^4$.

в) Для доказательства преобразуем левую часть равенства $\frac{a}{b^{-2}}$ (при условии, что $b \neq 0$).
Выражение можно представить в виде произведения:
$\frac{a}{b^{-2}} = a \cdot \frac{1}{b^{-2}}$.
Как мы установили в предыдущих пунктах, выражение $\frac{1}{x^{-n}}$ равно $x^n$. Применим это правило ко второму множителю:
$\frac{1}{b^{-2}} = b^2$.
Теперь подставим полученный результат в наше произведение:
$a \cdot b^2 = ab^2$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $\frac{a}{b^{-2}} = ab^2$.