Номер 2, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Вопросы к параграфу. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 37.

Условие.

Запишите число, обратное данному, с помощью показателя $-1$ и найдите это число: 8; $\frac{2}{5}$; $-3$.

Найдите произведение: $8 \cdot 8^{-1}$; $\frac{2}{5} \cdot (\frac{2}{5})^{-1}$; $(-3) \cdot (-3)^{-1}$.

Решение 4.

Для числа 8

Чтобы записать число, обратное данному, с помощью показателя -1, нужно возвести данное число в степень -1. Для числа 8 это будет $8^{-1}$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. При $n=1$ получаем $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Следовательно, $8^{-1} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $8^{-1} = \frac{1}{8}$.

Для числа $\frac{2}{5}$

Обратное число для $\frac{2}{5}$ записывается как $(\frac{2}{5})^{-1}$.
Для дробей существует правило $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.
Применяя это правило, получаем: $(\frac{2}{5})^{-1} = \frac{5}{2}$.

Ответ: $(\frac{2}{5})^{-1} = \frac{5}{2}$.

Для числа -3

Обратное число для -3 записывается как $(-3)^{-1}$.
Используя определение $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем: $(-3)^{-1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $(-3)^{-1} = -\frac{1}{3}$.

Найдите произведение $8 \cdot 8^{-1}$

Произведение любого ненулевого числа на обратное ему число всегда равно 1. Это следует из свойства умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$8 \cdot 8^{-1} = 8^1 \cdot 8^{-1} = 8^{1+(-1)} = 8^{1-1} = 8^0 = 1$.

Ответ: 1.

Найдите произведение $\frac{2}{5} \cdot (\frac{2}{5})^{-1}$

Аналогично предыдущему примеру, произведение числа на обратное ему равно 1.
$(\frac{2}{5}) \cdot (\frac{2}{5})^{-1} = (\frac{2}{5})^{1} \cdot (\frac{2}{5})^{-1} = (\frac{2}{5})^{1-1} = (\frac{2}{5})^0 = 1$.

Ответ: 1.

Найдите произведение $(-3) \cdot (-3)^{-1}$

Аналогично предыдущим примерам:
$(-3) \cdot (-3)^{-1} = (-3)^1 \cdot (-3)^{-1} = (-3)^{1-1} = (-3)^0 = 1$.

Ответ: 1.