Номер 1.100, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.100, страница 33.

Условие.

1.100 a) $ (m + 3 + \frac{9}{m-3}) : (\frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(3-m)^2}) $

б) $ (\frac{n}{1+2n+n^2} - \frac{n}{n+1}) : (\frac{1}{n+1} + n-1) $

В) $ (\frac{x^3}{y^3} + 1) : (\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}) $

Г) $ (1 + \frac{v}{u} + \frac{v^2}{u^2}) : (\frac{1}{v} - \frac{v^2}{u^3}) $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное выражение: $\left( m + 3 + \frac{9}{m-3} \right) : \left( \frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(3-m)^2} \right)$.
1. Упростим выражение в первой скобке. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $m-3$:
$m + 3 + \frac{9}{m-3} = \frac{(m+3)(m-3)}{m-3} + \frac{9}{m-3} = \frac{m^2-9}{m-3} + \frac{9}{m-3} = \frac{m^2-9+9}{m-3} = \frac{m^2}{m-3}$.
2. Упростим выражение во второй скобке. Заметим, что $(3-m)^2 = (-(m-3))^2 = (m-3)^2$. Общий знаменатель будет $(m-3)^2$:
$\frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(m-3)^2} = \frac{m(m-3)}{(m-3)^2} + \frac{3m}{(m-3)^2} = \frac{m^2-3m+3m}{(m-3)^2} = \frac{m^2}{(m-3)^2}$.
3. Выполним деление полученных выражений. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:
$\frac{m^2}{m-3} : \frac{m^2}{(m-3)^2} = \frac{m^2}{m-3} \cdot \frac{(m-3)^2}{m^2}$.
Сокращаем $m^2$ и $(m-3)$:
$\frac{1}{1} \cdot \frac{m-3}{1} = m-3$.
Область допустимых значений: $m-3 \neq 0 \implies m \neq 3$ и делитель не равен нулю, т.е. $m^2 \neq 0 \implies m \neq 0$.
Ответ: $m-3$.

б) Исходное выражение: $\left( \frac{n}{1+2n+n^2} - \frac{n}{n+1} \right) : \left( \frac{1}{n+1} + n - 1 \right)$.
1. Упростим выражение в первой скобке. Заметим, что знаменатель $1+2n+n^2$ является полным квадратом $(1+n)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(n+1)^2$:
$\frac{n}{(n+1)^2} - \frac{n(n+1)}{(n+1)^2} = \frac{n - (n^2+n)}{(n+1)^2} = \frac{n-n^2-n}{(n+1)^2} = \frac{-n^2}{(n+1)^2}$.
2. Упростим выражение во второй скобке. Приведем слагаемые к общему знаменателю $n+1$:
$\frac{1}{n+1} + n - 1 = \frac{1}{n+1} + \frac{(n-1)(n+1)}{n+1} = \frac{1 + (n^2-1)}{n+1} = \frac{1+n^2-1}{n+1} = \frac{n^2}{n+1}$.
3. Выполним деление:
$\frac{-n^2}{(n+1)^2} : \frac{n^2}{n+1} = \frac{-n^2}{(n+1)^2} \cdot \frac{n+1}{n^2}$.
Сокращаем $n^2$ и $(n+1)$:
$\frac{-1}{n+1} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{1}{n+1}$.
Область допустимых значений: $n+1 \neq 0 \implies n \neq -1$ и делитель не равен нулю, т.е. $n^2 \neq 0 \implies n \neq 0$.
Ответ: $-\frac{1}{n+1}$.

в) Исходное выражение: $\left( \frac{x^3}{y^3} + 1 \right) : \left( \frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \right)$.
1. Упростим выражение в первой скобке, применив формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$\frac{x^3}{y^3} + 1 = \frac{x^3+y^3}{y^3} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3}$.
2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $xy^2$:
$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{xy^2} - \frac{1 \cdot xy}{xy^2} + \frac{1 \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^2-xy+y^2}{xy^2}$.
3. Выполним деление:
$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3} : \frac{x^2-xy+y^2}{xy^2} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3} \cdot \frac{xy^2}{x^2-xy+y^2}$.
Сокращаем общий множитель $(x^2-xy+y^2)$ и $y^2$:
$\frac{x+y}{y} \cdot \frac{x}{1} = \frac{x(x+y)}{y}$.
Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Ответ: $\frac{x(x+y)}{y}$.

г) Исходное выражение: $\left( 1 + \frac{v}{u} + \frac{v^2}{u^2} \right) : \left( \frac{1}{v} - \frac{v^2}{u^3} \right)$.
1. Упростим выражение в первой скобке. Приведем слагаемые к общему знаменателю $u^2$:
$1 + \frac{v}{u} + \frac{v^2}{u^2} = \frac{u^2}{u^2} + \frac{uv}{u^2} + \frac{v^2}{u^2} = \frac{u^2+uv+v^2}{u^2}$.
2. Упростим выражение во второй скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $vu^3$ и применим формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$\frac{1}{v} - \frac{v^2}{u^3} = \frac{u^3}{vu^3} - \frac{v^3}{vu^3} = \frac{u^3-v^3}{vu^3} = \frac{(u-v)(u^2+uv+v^2)}{vu^3}$.
3. Выполним деление:
$\frac{u^2+uv+v^2}{u^2} : \frac{(u-v)(u^2+uv+v^2)}{vu^3} = \frac{u^2+uv+v^2}{u^2} \cdot \frac{vu^3}{(u-v)(u^2+uv+v^2)}$.
Сокращаем общий множитель $(u^2+uv+v^2)$ и $u^2$:
$\frac{1}{1} \cdot \frac{vu}{u-v} = \frac{uv}{u-v}$.
Область допустимых значений: $u \neq 0$, $v \neq 0$, $u^3-v^3 \neq 0 \implies u \neq v$.
Ответ: $\frac{uv}{u-v}$.