Номер 1.97, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.97, страница 33.

Условие.

1.97 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

a) $\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{3}}$;

б) $\frac{3 + \frac{p}{q}}{3 - \frac{p}{q}}$;

В) $\frac{\frac{1}{y} - x}{\frac{1}{y} + x}$;

Г) $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$;

Д) $\frac{1 - \frac{b}{a}}{1 - \frac{a}{b}}$;

e) $\frac{u - 3}{\frac{u}{v} - \frac{3}{uv}}$;

Образец.

$\frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{b}{a} + 1} = \frac{\left(\frac{a}{b} + 1\right)ab}{\left(\frac{b}{a} + 1\right)ab} = \frac{a^2 + ab}{b^2 + ab} = \frac{a(a+b)}{b(a+b)} = \frac{a}{b}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения $\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{3}}$, найдем наименьшее общее кратное знаменателей внутренних дробей (3 и 2). НОК(3, 2) = 6. Умножим числитель и знаменатель основной дроби на 6, чтобы избавиться от вложенных дробей.
$\frac{(\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) \cdot 6}{(2 - \frac{1}{3}) \cdot 6} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 6}{2 \cdot 6 - \frac{1}{3} \cdot 6} = \frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 3}{12 - 2} = \frac{4 - 3}{10} = \frac{1}{10}.$
Ответ: $\frac{1}{10}$

б) В выражении $\frac{3 + \frac{p}{q}}{3 - \frac{p}{q}}$ знаменателем внутренней дроби является $q$. Умножим числитель и знаменатель основной дроби на $q$.
$\frac{(3 + \frac{p}{q}) \cdot q}{(3 - \frac{p}{q}) \cdot q} = \frac{3 \cdot q + \frac{p}{q} \cdot q}{3 \cdot q - \frac{p}{q} \cdot q} = \frac{3q + p}{3q - p}.$
Ответ: $\frac{3q + p}{3q - p}$

в) В выражении $\frac{\frac{1}{y} - x}{\frac{1}{y} + x}$ знаменателем внутренней дроби является $y$. Умножим числитель и знаменатель основной дроби на $y$.
$\frac{(\frac{1}{y} - x) \cdot y}{(\frac{1}{y} + x) \cdot y} = \frac{\frac{1}{y} \cdot y - x \cdot y}{\frac{1}{y} \cdot y + x \cdot y} = \frac{1 - xy}{1 + xy}.$
Ответ: $\frac{1 - xy}{1 + xy}$

г) В выражении $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$ знаменателями внутренних дробей являются $y$ и $x$. Их наименьшее общее кратное равно $xy$. Умножим числитель и знаменатель основной дроби на $xy$.
$\frac{(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot xy}{(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) \cdot xy} = \frac{\frac{x}{y} \cdot xy - \frac{y}{x} \cdot xy}{\frac{x}{y} \cdot xy + \frac{y}{x} \cdot xy} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}.$
Ответ: $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

д) В выражении $\frac{\frac{1}{a} - b}{1 - \frac{b}{a}}$ знаменателем внутренней дроби является $a$. Умножим числитель и знаменатель основной дроби на $a$.
$\frac{(\frac{1}{a} - b) \cdot a}{(1 - \frac{b}{a}) \cdot a} = \frac{\frac{1}{a} \cdot a - b \cdot a}{1 \cdot a - \frac{b}{a} \cdot a} = \frac{1 - ab}{a - b}.$
Ответ: $\frac{1 - ab}{a - b}$

е) В выражении $\frac{u-3}{\frac{u}{v} - \frac{3}{uv}}$ знаменателями дробей в знаменателе основной дроби являются $v$ и $uv$. Их наименьшее общее кратное равно $uv$. Умножим числитель и знаменатель основной дроби на $uv$.
$\frac{(u-3) \cdot uv}{(\frac{u}{v} - \frac{3}{uv}) \cdot uv} = \frac{uv(u-3)}{\frac{u}{v} \cdot uv - \frac{3}{uv} \cdot uv} = \frac{uv(u-3)}{u \cdot u - 3} = \frac{uv(u-3)}{u^2-3}.$
Ответ: $\frac{uv(u-3)}{u^2-3}$