Номер 1.98, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.98, страница 33.

Условие.

1.98 Выразите из формулы каждую переменную через остальные переменные:

а) $\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}$;

б) $\frac{1}{D} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходная формула: $ \frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} $.

Чтобы выразить каждую переменную, будем выполнять алгебраические преобразования.

1. Выразим $R$ через $r_1$ и $r_2$:
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $r_1 r_2$:
$ \frac{1}{R} = \frac{r_2}{r_1 r_2} + \frac{r_1}{r_1 r_2} $
Сложим дроби в правой части:
$ \frac{1}{R} = \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} $
Чтобы найти $R$, возьмем обратные величины от обеих частей равенства (или "перевернем" дроби):
$ R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} $

2. Выразим $r_1$ через $R$ и $r_2$:
В исходной формуле перенесем $ \frac{1}{r_2} $ в левую часть, чтобы изолировать слагаемое с $r_1$:
$ \frac{1}{r_1} = \frac{1}{R} - \frac{1}{r_2} $
Приведем правую часть к общему знаменателю $R r_2$:
$ \frac{1}{r_1} = \frac{r_2}{R r_2} - \frac{R}{R r_2} = \frac{r_2 - R}{R r_2} $
Теперь "перевернем" дроби, чтобы выразить $r_1$:
$ r_1 = \frac{R r_2}{r_2 - R} $

3. Выразим $r_2$ через $R$ и $r_1$:
Процесс аналогичен предыдущему пункту. Изолируем слагаемое с $r_2$:
$ \frac{1}{r_2} = \frac{1}{R} - \frac{1}{r_1} $
Приводим правую часть к общему знаменателю $R r_1$:
$ \frac{1}{r_2} = \frac{r_1}{R r_1} - \frac{R}{R r_1} = \frac{r_1 - R}{R r_1} $
"Переворачиваем" дроби, чтобы выразить $r_2$:
$ r_2 = \frac{R r_1}{r_1 - R} $

Ответ: $ R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} $; $ r_1 = \frac{R r_2}{r_2 - R} $; $ r_2 = \frac{R r_1}{r_1 - R} $.

б) Исходная формула: $ \frac{1}{D} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} $.

Эта формула имеет ту же математическую структуру, что и формула в пункте а). Поэтому для нахождения выражений для каждой переменной можно провести аналогичные выкладки, заменив $R$ на $D$, $r_1$ на $d_1$ и $r_2$ на $d_2$.

1. Выразим $D$ через $d_1$ и $d_2$:
Приводим правую часть к общему знаменателю и "переворачиваем" дробь:
$ \frac{1}{D} = \frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2} \implies D = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2} $

2. Выразим $d_1$ через $D$ и $d_2$:
Изолируем $ \frac{1}{d_1} $, приводим к общему знаменателю и "переворачиваем" дробь:
$ \frac{1}{d_1} = \frac{1}{D} - \frac{1}{d_2} = \frac{d_2 - D}{D d_2} \implies d_1 = \frac{D d_2}{d_2 - D} $

3. Выразим $d_2$ через $D$ и $d_1$:
Изолируем $ \frac{1}{d_2} $, приводим к общему знаменателю и "переворачиваем" дробь:
$ \frac{1}{d_2} = \frac{1}{D} - \frac{1}{d_1} = \frac{d_1 - D}{D d_1} \implies d_2 = \frac{D d_1}{d_1 - D} $

Ответ: $ D = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2} $; $ d_1 = \frac{D d_2}{d_2 - D} $; $ d_2 = \frac{D d_1}{d_1 - D} $.