Номер 1.99, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.99, страница 33.

Условие.

Упростите выражение (1.99–1.100).

1.99 a) $\left(\frac{x}{x+1} + \frac{x^2+1}{1-x^2} - \frac{x}{x-1}\right) : \frac{x+x^2}{(1-x)^2};$

б) $\frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \left(\frac{5}{a+5} - \frac{a^2+25}{a^2-25} - \frac{5}{5-a}\right);$

в) $\left(\frac{1+x}{x^2-xy} - \frac{1-y}{y^2-xy}\right) : \left(\frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y-xy^2} - \frac{x}{x^2-y^2}\right);$

г) $\frac{4}{b^2-4} + \frac{4b}{4-4b+b^2} \cdot \left(\frac{2}{2b+b^2} - \frac{b}{4+2b}\right).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в скобках.

1) Преобразуем дроби в скобках, приводя их к общему знаменателю. Знаменатель $1-x^2$ раскладывается как $(1-x)(1+x)$, а $x-1$ можно представить как $-(1-x)$.

$\left( \frac{x}{x+1} + \frac{x^2+1}{1-x^2} - \frac{x}{x-1} \right) = \frac{x}{x+1} + \frac{x^2+1}{(1-x)(1+x)} + \frac{x}{1-x}$

Общий знаменатель: $(1-x)(1+x)$.

$\frac{x(1-x)}{(1-x)(1+x)} + \frac{x^2+1}{(1-x)(1+x)} + \frac{x(1+x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{x(1-x) + x^2+1 + x(1+x)}{(1-x)(1+x)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x-x^2+x^2+1+x+x^2}{(1-x)(1+x)} = \frac{x^2+2x+1}{(1-x)(1+x)}$

Числитель является полным квадратом $(x+1)^2$.

$\frac{(x+1)^2}{(1-x)(1+x)} = \frac{x+1}{1-x}$

2) Теперь выполним деление. Упростим делитель: $\frac{x+x^2}{(1-x)^2} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^2}$.

$\frac{x+1}{1-x} : \frac{x(1+x)}{(1-x)^2}$

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{x+1}{1-x} \cdot \frac{(1-x)^2}{x(1+x)} = \frac{(x+1)(1-x)^2}{(1-x)x(1+x)}$

Сокращаем общие множители $(x+1)$ и $(1-x)$.

$\frac{1-x}{x}$

Ответ: $\frac{1-x}{x}$

б) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в скобках.

1) Преобразуем дроби в скобках. Знаменатель $a^2-25 = (a-5)(a+5)$, а $5-a = -(a-5)$.

$\frac{5}{a+5} - \frac{a^2+25}{a^2-25} - \frac{5}{5-a} = \frac{5}{a+5} - \frac{a^2+25}{(a-5)(a+5)} + \frac{5}{a-5}$

Общий знаменатель: $(a-5)(a+5)$.

$\frac{5(a-5)}{(a-5)(a+5)} - \frac{a^2+25}{(a-5)(a+5)} + \frac{5(a+5)}{(a-5)(a+5)} = \frac{5(a-5) - (a^2+25) + 5(a+5)}{(a-5)(a+5)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{5a-25 - a^2-25 + 5a+25}{(a-5)(a+5)} = \frac{-a^2+10a-25}{(a-5)(a+5)}$

Вынесем минус из числителя и свернем его в полный квадрат: $-(a^2-10a+25) = -(a-5)^2$.

$\frac{-(a-5)^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{-(a-5)}{a+5} = \frac{5-a}{a+5}$

2) Теперь выполним деление.

$\frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \frac{5-a}{a+5} = \frac{(a-5)^2}{a(a+5)} \cdot \frac{a+5}{5-a}$

Учитывая, что $(a-5)^2 = (5-a)^2$, сокращаем общие множители $(a+5)$ и $(5-a)$.

$\frac{(5-a)^2}{a(a+5)} \cdot \frac{a+5}{5-a} = \frac{5-a}{a}$

Ответ: $\frac{5-a}{a}$

в) Выражение содержит несколько действий. Выполним их по порядку.

1) Упростим выражение в скобках.

$\frac{1+x}{x^2-xy} - \frac{1-y}{y^2-xy} = \frac{1+x}{x(x-y)} - \frac{1-y}{y(y-x)} = \frac{1+x}{x(x-y)} + \frac{1-y}{y(x-y)}$

Приведем к общему знаменателю $xy(x-y)$.

$\frac{y(1+x) + x(1-y)}{xy(x-y)} = \frac{y+xy+x-xy}{xy(x-y)} = \frac{x+y}{xy(x-y)}$

2) Выполним деление.

$\frac{x+y}{xy(x-y)} : \frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y-xy^2}$

Упростим делитель: $\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2y-xy^2} = \frac{(x+y)^2}{xy(x-y)}$.

$\frac{x+y}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} = \frac{1}{x+y}$

3) Выполним вычитание.

$\frac{1}{x+y} - \frac{x}{x^2-y^2} = \frac{1}{x+y} - \frac{x}{(x-y)(x+y)}$

Приведем к общему знаменателю $(x-y)(x+y)$.

$\frac{1(x-y) - x}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y-x}{(x-y)(x+y)} = \frac{-y}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{-y}{x^2-y^2}$

г) Упростим выражение, выполнив действия в каждой из скобок, а затем перемножив результаты.

1) Упростим выражение в первой скобке.

$\frac{4}{b^2-4} + \frac{4b}{4-4b+b^2} = \frac{4}{(b-2)(b+2)} + \frac{4b}{(b-2)^2}$

Приведем к общему знаменателю $(b-2)^2(b+2)$.

$\frac{4(b-2) + 4b(b+2)}{(b-2)^2(b+2)} = \frac{4b-8+4b^2+8b}{(b-2)^2(b+2)} = \frac{4b^2+12b-8}{(b-2)^2(b+2)} = \frac{4(b^2+3b-2)}{(b-2)^2(b+2)}$

2) Упростим выражение во второй скобке.

$\frac{2}{2b+b^2} - \frac{b}{4+2b} = \frac{2}{b(2+b)} - \frac{b}{2(2+b)}$

Приведем к общему знаменателю $2b(b+2)$.

$\frac{2 \cdot 2 - b \cdot b}{2b(b+2)} = \frac{4-b^2}{2b(b+2)} = \frac{(2-b)(2+b)}{2b(b+2)} = \frac{2-b}{2b}$

3) Перемножим полученные выражения.

$\frac{4(b^2+3b-2)}{(b-2)^2(b+2)} \cdot \frac{2-b}{2b} = \frac{4(b^2+3b-2)}{(b-2)^2(b+2)} \cdot \frac{-(b-2)}{2b}$

Сократим общие множители $4$ и $2$, а также $(b-2)$.

$\frac{2(b^2+3b-2)}{(b-2)(b+2)} \cdot \frac{-1}{b} = \frac{-2(b^2+3b-2)}{b(b-2)(b+2)} = \frac{-2(b^2+3b-2)}{b(b^2-4)}$

Ответ: $\frac{-2(b^2+3b-2)}{b(b^2-4)}$