Номер 1.92, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.92, страница 32.

Условие.

1.92 а) $ (\frac{b}{a} - \frac{a}{b}) : (a + b) $

Б) $ (x^2 - y^2) : (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) $

В) $ (\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2) : (x - y) $

Г) $ (a+b)^2 : (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab}) $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Выполним преобразование выражения по шагам.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$:
$\frac{b}{a} - \frac{a}{b} = \frac{b \cdot b}{ab} - \frac{a \cdot a}{ab} = \frac{b^2 - a^2}{ab}$.
2. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для числителя:
$b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$.
Таким образом, первое выражение равно $\frac{(b-a)(b+a)}{ab}$.
3. Теперь выполним деление. Деление на $(a+b)$ равносильно умножению на $\frac{1}{a+b}$:
$\frac{(b-a)(b+a)}{ab} : (a+b) = \frac{(b-a)(b+a)}{ab} \cdot \frac{1}{a+b}$.
4. Сократим общий множитель $(a+b)$:
$\frac{(b-a)\cancel{(b+a)}}{ab} \cdot \frac{1}{\cancel{a+b}} = \frac{b-a}{ab}$.
Ответ: $\frac{b-a}{ab}$

б) Решим по действиям.
1. Упростим выражение во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$.
2. Первое выражение $x^2-y^2$ разложим на множители по формуле разности квадратов:
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.
3. Выполним деление. Разделить на дробь - это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:
$(x^2 - y^2) : (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = (x-y)(x+y) : \frac{x+y}{xy} = (x-y)(x+y) \cdot \frac{xy}{x+y}$.
4. Сократим общий множитель $(x+y)$:
$(x-y)\cancel{(x+y)} \cdot \frac{xy}{\cancel{x+y}} = (x-y)xy$.
Ответ: $(x-y)xy$

в) Выполним преобразование по шагам.
1. Упростим выражение в первых скобках, приведя все члены к общему знаменателю $xy$:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 = \frac{x \cdot x}{xy} + \frac{y \cdot y}{xy} - \frac{2xy}{xy} = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy}$.
2. Числитель $x^2 - 2xy + y^2$ является полным квадратом разности $(x-y)^2$.
Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(x-y)^2}{xy}$.
3. Выполним деление на $(x-y)$:
$\frac{(x-y)^2}{xy} : (x-y) = \frac{(x-y)^2}{xy} \cdot \frac{1}{x-y}$.
4. Сократим общий множитель $(x-y)$:
$\frac{(x-y)^{\cancel{2}}}{xy} \cdot \frac{1}{\cancel{x-y}} = \frac{x-y}{xy}$.
Ответ: $\frac{x-y}{xy}$

г) Решим по действиям.
1. Упростим выражение во вторых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} + \frac{2ab}{a^2b^2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2b^2}$.
2. Числитель $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2$.
Таким образом, выражение во вторых скобках равно $\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}$.
3. Теперь выполним деление:
$(a+b)^2 : \frac{(a+b)^2}{a^2b^2}$.
4. Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь:
$(a+b)^2 \cdot \frac{a^2b^2}{(a+b)^2}$.
5. Сократим общий множитель $(a+b)^2$:
$\cancel{(a+b)^2} \cdot \frac{a^2b^2}{\cancel{(a+b)^2}} = a^2b^2$.
Ответ: $a^2b^2$