Номер 1, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Вопросы к параграфу. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1, страница 31.

Условие.

Выполните преобразование выражения $\left(\frac{m-n}{n} - \frac{m-n}{m}\right) : \frac{m-n}{mn}$ сначала по действиям, как сделано в примере 1, а затем способом, который применён в примере 2.

Решение 4.

Решение по действиям

Сначала выполним действие в скобках — вычитание дробей. Для этого приведём их к общему знаменателю $mn$.

$\frac{m-n}{n} - \frac{m-n}{m} = \frac{m(m-n)}{mn} - \frac{n(m-n)}{mn} = \frac{m(m-n) - n(m-n)}{mn}$

В числителе можно вынести общий множитель $(m-n)$ за скобку:

$\frac{(m-n)(m-n)}{mn} = \frac{(m-n)^2}{mn}$

Теперь выполним второе действие — деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{(m-n)^2}{mn} : \frac{m-n}{mn} = \frac{(m-n)^2}{mn} \cdot \frac{mn}{m-n}$

Сократим общие множители $mn$ и $(m-n)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $m \neq 0$, $n \neq 0$ и $m \neq n$):

$\frac{(m-n)^2 \cdot mn}{mn \cdot (m-n)} = m-n$

Ответ: $m-n$.

Решение вторым способом

Представим исходное выражение в виде сложной ("многоэтажной") дроби.

$(\frac{m-n}{n} - \frac{m-n}{m}) : \frac{m-n}{mn} = \frac{\frac{m-n}{n} - \frac{m-n}{m}}{\frac{m-n}{mn}}$

Чтобы упростить эту дробь, домножим её числитель и знаменатель на общий знаменатель всех "малых" дробей, который равен $mn$.

$\frac{(\frac{m-n}{n} - \frac{m-n}{m}) \cdot mn}{(\frac{m-n}{mn}) \cdot mn}$

Преобразуем числитель, раскрыв скобки:

$(\frac{m-n}{n} - \frac{m-n}{m}) \cdot mn = \frac{m-n}{n} \cdot mn - \frac{m-n}{m} \cdot mn = m(m-n) - n(m-n)$

Вынесем общий множитель $(m-n)$:

$(m-n)(m-n) = (m-n)^2$

Преобразуем знаменатель:

$(\frac{m-n}{mn}) \cdot mn = m-n$

В результате получаем дробь:

$\frac{(m-n)^2}{m-n}$

Сократим дробь на $(m-n)$ (при условии $m \neq n$):

$\frac{(m-n)^2}{m-n} = m-n$

Ответ: $m-n$.