Номер 1.89, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.89, страница 30.

Условие.

$1.89$

а) $\frac{n - n^2}{2 + n} \cdot \frac{1}{2n - n^2} \cdot \frac{n^2 - 4}{n - 1};$

б) $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} : \frac{x + y}{x^3 - y^3} \cdot \frac{1}{(y - x)^3}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Упростим выражение $ \frac{n-n^2}{2+n} \cdot \frac{1}{2n-n^2} \cdot \frac{n^2-4}{n-1} $.

1. Разложим числители и знаменатели дробей на множители:

$ n-n^2 = n(1-n) = -n(n-1) $

$ 2+n = n+2 $

$ 2n-n^2 = n(2-n) = -n(n-2) $

$ n^2-4 = (n-2)(n+2) $ (по формуле разности квадратов)

2. Подставим разложенные выражения обратно в исходное произведение:

$ \frac{-n(n-1)}{n+2} \cdot \frac{1}{-n(n-2)} \cdot \frac{(n-2)(n+2)}{n-1} $

3. Запишем все множители в одну дробь и произведем сокращение:

$ \frac{-n(n-1)(n-2)(n+2)}{(n+2)(-n)(n-2)(n-1)} $

Сокращаем общие множители $ n $, $ (n-1) $, $ (n-2) $, $ (n+2) $ и знак минус в числителе и знаменателе.

$ \frac{\cancel{-n}\cancel{(n-1)}\cancel{(n-2)}\cancel{(n+2)}}{\cancel{(n+2)}(\cancel{-n})\cancel{(n-2)}\cancel{(n-1)}} = 1 $

После сокращения всех общих множителей результат равен 1.

Ответ: $1$

б)

Упростим выражение $ \frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2} : \frac{x+y}{x^3-y^3} \cdot \frac{1}{(y-x)^3} $.

1. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Заменим знак деления на умножение:

$ \frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2} \cdot \frac{x^3-y^3}{x+y} \cdot \frac{1}{(y-x)^3} $

2. Разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:

$ x^2-y^2 = (x-y)(x+y) $ (разность квадратов)

$ x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $ (разность кубов)

$ (y-x)^3 = (-(x-y))^3 = (-1)^3 \cdot (x-y)^3 = -(x-y)^3 $

3. Подставим разложенные выражения в произведение:

$ \frac{(x-y)(x+y)}{x^2+xy+y^2} \cdot \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x+y} \cdot \frac{1}{-(x-y)^3} $

4. Запишем все множители в одну дробь и сгруппируем их:

$ \frac{(x-y)(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x^2+xy+y^2)(x+y)(-(x-y)^3)} = \frac{(x-y)^2(x+y)(x^2+xy+y^2)}{-(x-y)^3(x+y)(x^2+xy+y^2)} $

5. Сократим общие множители $ (x+y) $, $ (x^2+xy+y^2) $ и $ (x-y)^2 $:

$ \frac{\cancel{(x-y)^2}\cancel{(x+y)}\cancel{(x^2+xy+y^2)}}{-(x-y)^{\cancel{3}1}\cancel{(x+y)}\cancel{(x^2+xy+y^2)}} = \frac{1}{-(x-y)} $

6. Упростим полученное выражение, внеся минус в знаменатель:

$ \frac{1}{-(x-y)} = \frac{1}{y-x} $

Ответ: $ \frac{1}{y-x} $