Номер 1.86, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.86, страница 29.

Условие.

Выполните действия (1.86–1.89).

1.86 а) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x} \cdot \frac{x^2 - 25}{x^2 + 3x}$;

б) $\frac{b^2 - ab}{a^2 + ad} : \frac{ab}{d^2 + ad}$;

в) $\frac{4x - y}{x^2 + xy} : \frac{4x^2 - xy}{2x^2 - 2y^2}$;

г) $\frac{a^2 + 4a + 4}{2a - 2} \cdot \frac{a^2 - a}{3a + 6}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы выполнить умножение дробей $ \frac{x^2-9}{x^2-5x} \cdot \frac{x^2-25}{x^2+3x} $, сначала разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби.
Для числителей используем формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:
$ x^2-9 = x^2-3^2 = (x-3)(x+3) $
$ x^2-25 = x^2-5^2 = (x-5)(x+5) $
Для знаменателей вынесем общий множитель за скобки:
$ x^2-5x = x(x-5) $
$ x^2+3x = x(x+3) $
Теперь подставим разложенные выражения в исходное:
$ \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-5)} \cdot \frac{(x-5)(x+5)}{x(x+3)} $
Умножим дроби и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($ (x+3) $ и $ (x-5) $):
$ \frac{(x-3)\cancel{(x+3)}(x-5)(x+5)}{x\cancel{(x-5)}x\cancel{(x+3)}} = \frac{(x-3)(x+5)}{x \cdot x} = \frac{x^2+5x-3x-15}{x^2} = \frac{x^2+2x-15}{x^2} $
Ответ: $ \frac{x^2+2x-15}{x^2} $

б) Чтобы выполнить деление дробей $ \frac{b^2-ab}{a^2+ad} : \frac{ab}{d^2+ad} $, заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{b^2-ab}{a^2+ad} \cdot \frac{d^2+ad}{ab} $
Теперь разложим на множители числители и знаменатели, вынося общий множитель за скобки:
$ b^2-ab = b(b-a) $
$ a^2+ad = a(a+d) $
$ d^2+ad = d(d+a) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{b(b-a)}{a(a+d)} \cdot \frac{d(d+a)}{ab} $
Умножим дроби и сократим общие множители ($ b $, $ a $ и $ (a+d) $):
$ \frac{\cancel{b}(b-a)d\cancel{(a+d)}}{a\cancel{(a+d)}a\cancel{b}} = \frac{d(b-a)}{a \cdot a} = \frac{d(b-a)}{a^2} $
Ответ: $ \frac{d(b-a)}{a^2} $

в) Чтобы выполнить деление дробей $ \frac{4x-y}{x^2+xy} : \frac{4x^2-xy}{2x^2-2y^2} $, заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{4x-y}{x^2+xy} \cdot \frac{2x^2-2y^2}{4x^2-xy} $
Разложим на множители числители и знаменатели:
$ x^2+xy = x(x+y) $
$ 2x^2-2y^2 = 2(x^2-y^2) = 2(x-y)(x+y) $ (вынесение общего множителя и разность квадратов)
$ 4x^2-xy = x(4x-y) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{4x-y}{x(x+y)} \cdot \frac{2(x-y)(x+y)}{x(4x-y)} $
Сократим общие множители $ (4x-y) $ и $ (x+y) $:
$ \frac{\cancel{(4x-y)}}{x\cancel{(x+y)}} \cdot \frac{2(x-y)\cancel{(x+y)}}{x\cancel{(4x-y)}} = \frac{2(x-y)}{x \cdot x} = \frac{2(x-y)}{x^2} $
Ответ: $ \frac{2(x-y)}{x^2} $

г) Чтобы выполнить умножение дробей $ \frac{a^2+4a+4}{2a-2} \cdot \frac{a^2-a}{3a+6} $, разложим на множители числители и знаменатели.
Для числителя первой дроби используем формулу квадрата суммы $ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 $:
$ a^2+4a+4 = (a+2)^2 $
В остальных выражениях вынесем общий множитель за скобки:
$ 2a-2 = 2(a-1) $
$ a^2-a = a(a-1) $
$ 3a+6 = 3(a+2) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(a+2)^2}{2(a-1)} \cdot \frac{a(a-1)}{3(a+2)} $
Умножим дроби и сократим общие множители $ (a-1) $ и $ (a+2) $:
$ \frac{(a+2)^{\cancel{2}} \cdot a \cancel{(a-1)}}{2\cancel{(a-1)} \cdot 3\cancel{(a+2)}} = \frac{a(a+2)}{2 \cdot 3} = \frac{a(a+2)}{6} $
Ответ: $ \frac{a(a+2)}{6} $