Номер 1.85, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.85, страница 29.

Условие.

1.85 Упростите выражение:

а) $ \frac{2x^2y}{a^2} \cdot \frac{a}{xy^2} \div \frac{2x^2}{a^3y}; $

б) $ \left(\frac{ab^3}{x} \div \frac{5b^2}{a}\right) \div \frac{a^3}{2x}; $

в) $ x^3y^2 \div \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{y^3}; $

г) $ \frac{2ab^5}{3c} \cdot 6ac \div (2b^3c); $

д) $ 3xy^2 \cdot \frac{x}{y} \div \frac{6x^2}{y}; $

е) $ \frac{3m^2}{2n^2} \cdot \frac{10n}{3m} \div (15mn). $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение, сначала заменим операцию деления на умножение, перевернув делитель (третью дробь):
$\frac{2x^2y}{a^2} \cdot \frac{a}{xy^2} \div \frac{2x^2}{a^3y} = \frac{2x^2y}{a^2} \cdot \frac{a}{xy^2} \cdot \frac{a^3y}{2x^2}$
Теперь объединим все в одну дробь и сгруппируем одинаковые переменные:
$\frac{(2 \cdot a \cdot a^3) \cdot (x^2) \cdot (y \cdot y)}{(a^2 \cdot 2) \cdot (x \cdot x^2) \cdot y^2} = \frac{2a^4x^2y^2}{2a^2x^3y^2}$
Сократим дробь, используя свойства степеней ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):
$\frac{\sout{2} \cdot a^{4-2} \cdot x^{2-3} \cdot y^{2-2}}{\sout{2}} = a^2 \cdot x^{-1} \cdot y^0 = a^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{a^2}{x}$
Ответ: $\frac{a^2}{x}$

б) Сначала выполним действие в скобках, заменив деление умножением на обратную дробь:
$\frac{ab^3}{x} \div \frac{5b^2}{a} = \frac{ab^3}{x} \cdot \frac{a}{5b^2} = \frac{a \cdot a \cdot b^3}{x \cdot 5 \cdot b^2} = \frac{a^2b^3}{5xb^2} = \frac{a^2b}{5x}$
Теперь разделим полученный результат на оставшуюся дробь:
$\frac{a^2b}{5x} \div \frac{a^3}{2x} = \frac{a^2b}{5x} \cdot \frac{2x}{a^3} = \frac{a^2b \cdot 2x}{5x \cdot a^3} = \frac{2a^2bx}{5a^3x}$
Сократим общие множители:
$\frac{2 \cdot b}{5 \cdot a} = \frac{2b}{5a}$
Ответ: $\frac{2b}{5a}$

в) Выполняем действия последовательно слева направо. Сначала деление:
$x^3y^2 \div \frac{1}{x^2} = x^3y^2 \cdot x^2 = x^{3+2}y^2 = x^5y^2$
Затем умножение:
$x^5y^2 \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{x^5y^2}{y^3} = x^5y^{2-3} = x^5y^{-1} = \frac{x^5}{y}$
Ответ: $\frac{x^5}{y}$

г) Выполняем действия последовательно слева направо. Представим $6ac$ и $2b^3c$ в виде дробей:
$\frac{2ab^5}{3c} \cdot \frac{6ac}{1} \div \frac{2b^3c}{1}$
Сначала умножение:
$\frac{2ab^5}{3c} \cdot \frac{6ac}{1} = \frac{2ab^5 \cdot 6ac}{3c} = \frac{12a^2b^5c}{3c} = 4a^2b^5$
Затем деление:
$4a^2b^5 \div (2b^3c) = \frac{4a^2b^5}{2b^3c} = \frac{2a^2b^{5-3}}{c} = \frac{2a^2b^2}{c}$
Ответ: $\frac{2a^2b^2}{c}$

д) Выполняем действия слева направо. Сначала умножение:
$3xy^2 \cdot \frac{x}{y} = \frac{3xy^2 \cdot x}{y} = \frac{3x^2y^2}{y} = 3x^2y$
Затем деление:
$3x^2y \div \frac{6x^2}{y} = 3x^2y \cdot \frac{y}{6x^2} = \frac{3x^2y^2}{6x^2}$
Сокращаем дробь:
$\frac{\sout{3}\sout{x^2}y^2}{\sout{3} \cdot 2 \cdot \sout{x^2}} = \frac{y^2}{2}$
Ответ: $\frac{y^2}{2}$

е) Выполняем действия слева направо. Сначала умножение:
$\frac{3m^2}{2n^2} \cdot \frac{10n}{3m} = \frac{3 \cdot 10 \cdot m^2 \cdot n}{2 \cdot 3 \cdot n^2 \cdot m} = \frac{30m^2n}{6mn^2}$
Сокращаем полученную дробь:
$\frac{5 \cdot \sout{6} \cdot m \cdot \sout{m} \cdot \sout{n}}{\sout{6} \cdot \sout{m} \cdot n \cdot \sout{n}} = \frac{5m}{n}$
Теперь деление:
$\frac{5m}{n} \div (15mn) = \frac{5m}{n} \cdot \frac{1}{15mn} = \frac{5m}{15mn^2}$
Сокращаем и получаем окончательный результат:
$\frac{\sout{5}\sout{m}}{\sout{5} \cdot 3 \cdot \sout{m} \cdot n^2} = \frac{1}{3n^2}$
Ответ: $\frac{1}{3n^2}$