Номер 1.88, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.88, страница 30.

Условие.

1.88 a) $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3} \cdot \frac{y - x}{y + x}$;

б) $\frac{2x^3 + 2z^3}{xz - x^2} : \frac{x^3 - x^2z + xz^2}{x^2 - z^2}$;

В) $\frac{p^3 - q^3}{p^4 - q^4} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q}$;

Г) $\frac{x^4 - 16}{x^2 - 4x + 4} : \frac{x^3 + 8}{x - 2}$;

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дано выражение $ \frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3} \cdot \frac{y - x}{y + x} $.

Для упрощения выражения разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби, используя формулы суммы и разности кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Также преобразуем числитель второй дроби, вынеся за скобки $-1$: $y - x = -(x - y)$.

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} \cdot \frac{-(x - y)}{y + x} $

Заметим, что $y+x = x+y$. Теперь можно сократить общие множители $(x + y)$ и $(x - y)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{(x + y)}(x^2 - xy + y^2)}{\cancel{(x - y)}(x^2 + xy + y^2)} \cdot \frac{-\cancel{(x - y)}}{\cancel{(x + y)}} = \frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 + xy + y^2} \cdot (-1) $

В результате получаем:

$-\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 + xy + y^2}$

Ответ: $-\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 + xy + y^2}$

б)

Дано выражение $ \frac{2x^3 + 2z^3}{xz - x^2} : \frac{x^3 - x^2z + xz^2}{x^2 - z^2} $.

Деление дробей можно заменить умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{2x^3 + 2z^3}{xz - x^2} \cdot \frac{x^2 - z^2}{x^3 - x^2z + xz^2} $

Теперь разложим на множители каждый числитель и знаменатель:

В числителе первой дроби вынесем общий множитель 2 и применим формулу суммы кубов: $2x^3 + 2z^3 = 2(x^3 + z^3) = 2(x + z)(x^2 - xz + z^2)$.

В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $-x$: $xz - x^2 = -x(x - z)$.

В числителе второй дроби применим формулу разности квадратов: $x^2 - z^2 = (x - z)(x + z)$.

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $x$: $x^3 - x^2z + xz^2 = x(x^2 - xz + z^2)$.

Подставим разложения в выражение:

$ \frac{2(x + z)(x^2 - xz + z^2)}{-x(x - z)} \cdot \frac{(x - z)(x + z)}{x(x^2 - xz + z^2)} $

Сократим общие множители $(x - z)$ и $(x^2 - xz + z^2)$:

$ \frac{2(x + z)\cancel{(x^2 - xz + z^2)}}{-x\cancel{(x - z)}} \cdot \frac{\cancel{(x - z)}(x + z)}{x\cancel{(x^2 - xz + z^2)}} = \frac{2(x + z)}{-x} \cdot \frac{x + z}{x} $

Перемножим оставшиеся дроби:

$ \frac{2(x + z)(x+z)}{-x \cdot x} = \frac{2(x+z)^2}{-x^2} = -\frac{2(x+z)^2}{x^2} $

Ответ: $-\frac{2(x+z)^2}{x^2}$

в)

Дано выражение $ \frac{p^3 - q^3}{p^4 - q^4} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q} $.

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:

Числитель: $p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$ (формула разности кубов).

Знаменатель: $p^4 - q^4 = (p^2)^2 - (q^2)^2 = (p^2 - q^2)(p^2 + q^2) = (p - q)(p + q)(p^2 + q^2)$ (формула разности квадратов, примененная дважды).

Подставим разложения в исходное выражение:

$ \frac{(p - q)(p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + q^2)} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q} $

Сократим общий множитель $(p-q)$ в первой дроби:

$ \frac{p^2 + pq + q^2}{(p + q)(p^2 + q^2)} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q} $

Теперь сократим общий множитель $(p^2+q^2)$:

$ \frac{p^2 + pq + q^2}{p + q} \cdot \frac{1}{p - q} = \frac{p^2 + pq + q^2}{(p+q)(p-q)} $

Применим формулу разности квадратов к знаменателю:

$ \frac{p^2 + pq + q^2}{p^2 - q^2} $

Ответ: $\frac{p^2 + pq + q^2}{p^2 - q^2}$

г)

Дано выражение $ \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4x + 4} : \frac{x^3 + 8}{x - 2} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^3 + 8} $

Разложим на множители числители и знаменатели:

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$ (разность квадратов).

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ (квадрат разности).

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ (сумма кубов).

Подставим разложения в выражение:

$ \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x - 2)^2} \cdot \frac{x - 2}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} $

Объединим множители в числителе и знаменателе, чтобы было удобнее сокращать:

$ \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x - 2)}{(x - 2)^2 (x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{(x - 2)^2 (x + 2)(x^2 + 4)}{(x - 2)^2 (x + 2)(x^2 - 2x + 4)} $

Сократим общие множители $(x - 2)^2$ и $(x + 2)$:

$ \frac{\cancel{(x - 2)^2} \cancel{(x + 2)}(x^2 + 4)}{\cancel{(x - 2)^2} \cancel{(x + 2)}(x^2 - 2x + 4)} = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 2x + 4} $

Ответ: $\frac{x^2 + 4}{x^2 - 2x + 4}$